成都石室中学2023-2024年度上期高2024届十月月考数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知集合，，则 A． B． C． D．2．若，则复数在复平面上对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知命题，使，命题关于直线对称，下面结论正确的是 A．命题“”是真命题B．命题“”是假命题 C．命题“”是真命题D．命题“”是假命题4．已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则A．1或B．2或 C．2或D．或5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 A．B．C． D．6．已知函数，设，则，，的大小关系为 A． B． C． D．7．函数的图象大致为 A．B．C．D．8．已知向量，，则的值是 A． B． C． D．9．2025年四川省新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰有四科相同的概率是 A． B． C． D．10．已知动圆M恒过点，且与直线相切，设圆心M的轨迹方程曲线，直线与曲线交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则 A． B． C． D．11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．12．已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若为偶函数，则实数.14.圆与圆的公共弦长为.15．已知三棱锥底面是边长为的等边三角形，平面底面，，则三棱锥的外接球的表面积为.16．已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率.三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．（本小题满分12分）设为数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作．为做好全省的迎检工作，成都市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数近似服从正态分布，其中近似为样本平均，近似为样本方差．①求；②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间，的人数为，试求．附：参考数据：，若随机变量服从正态分布，则，，．19．（本小题满分12分）如图，在几何体中，平面四边形是菱形，平面平面，，且，，．证明：（2）若二面角是直二面角，求直线与直线所成角的余弦值．20．（本小题满分12分）动圆C与圆M：外切，与圆N：内切.（1）求动圆C的圆心C的的轨迹方程；（2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数和函数.（1）求函数的极值；（2）设集合，(b为常数).①证明：存在实数b，使得集合中有且仅有3个元素；②设，，求证：.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（本小题满分10分）已知点在曲线上．（1）求动点的轨迹C的直角坐标方程；（2）过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．（本小题满分10分）已知任意，都有.（1）求实数的取值范围；（2）若（1）问中的最大值为，正数a，b，c满足，求证：.