唐山市2023－2024学年度高三年级摸底演练数学参考答案一．选择题（单选）：1~4．CBDA5~8．CABC二．选择题（多选）：9．BD10．AC11．AC12．ABD三．填空题：6513．200014．2π15．π16．25四．解答题：17．解：a1b1＝2S1，a1b1＝2a1，（1）由已知得即…2分a2b2＝2S2(a1＋d)(b1＋d)＝2(2a1＋d)解得b1＝2，d＝1，…4分故an＝n，bn＝n＋1．…5分1（2）由（1）得c＝．…6分n2n2＋2n＋111＜…7分2n2＋2n＋12n(n＋1)111＝－，…8分2(nn＋1)11111111则T＝c＋c＋…＋c＜1－＋－＋…＋－＋－…9分n12n2[(2)(23)(n－1n)(nn＋1)]11＝1－2(n＋1)na＝＝n．…10分2(n＋1)2bn18．解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设D1(0，0，h)(h＞0)．z（1）依题意得A(1，0，0)，E(0，1，0)，D1→C1B(1，2，0)，B(1，2，h)，AE＝(－1，1，0)，1A1B1→→EB＝(1，1，0)，BB1＝(0，0，h)．→→→→因为AE·EB＝0，AE·BB＝0，1Dy则AE⊥EB，AE⊥BB1，ECABEB，BB1在平面AED1内，又BE∩BB1＝B，x则AE⊥平面BEB1，又AE平面AED1，则平面AED1⊥平面BEB1．…5分高三数学答案第1页（共4页）{#{QQABBYSQggiAABIAABhCQQUwCAOQkACCAAgOwEAMoAAByBFABAA=}#}→→（2）依题意得C1(0，2，h)，EB1＝(1，1，h)，DC1＝(0，2，h)．则→→2→→|EB1·DC1|2＋h|cosEB1，DC1|＝＝＝cos30°，…7分→→2＋h24＋h2|EB1||DC1|解得h＝2．…8分→依题意得AD1＝(－1，0，2)设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，则→m·AD1＝－x＋2z＝0，取m＝(2，2，1)；…10分→m·AE＝－x＋y＝0，→→m·EB166cosm，EB＝＝＝，…11分1→693|m||EB1|6所以，EB与平面AED所成角的正弦值为．…12分11319．解：S△ABDAB3（1）因为AD平分∠BAC，所以＝＝．…2分S△ACDAC2S△ABDBD又因为D在BC上，所以＝，S△ACDCDBD36因此，＝，又BC＝3，所以CD＝．…3分CD251在△ABC中，AB＝BC＝3，AC＝2，可得cosC＝．…4分396在△ACD中，由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC×CD×cosC＝，…5分2546故AD＝．…6分5（2）∠DAC＝∠BAD＝θ，又∠ADC＝60°，所以B＝60°－θ，C＝120°－θ，…8分ABAC在△ABC中，由正弦定理可得，＝，…10分sin(120°－θ)sin(60°－θ)3解得tanθ＝．…12分520．解：（1）函数f(x)定义域为R，f(x)＝3x2－4x＝x(3x－4)．…2分44当x＜0或x＞时，f(x)＞0；当0＜x＜时，f(x)＜0，…4分3344所以f(x)在(－∞，0)，，＋∞上单调递增，在0，上单调递减．…5分(3)(3)高三数学答案第2页（共4页）{#{QQABBYSQggiAABIAABhCQQUwCAOQkACCAAgOwEAMoAAByBFABAA=}#}（2）由f(t)＝g(s)得，t3－2t2＝32es，所以32es－t＝(t3－2t2)e－t，因为32es－t＞0，所以t3－2t2＞0，即t＞2．…7分令h(t)＝(t3－2t2)e－t，t＞2，则h(t)＝t(t－1)(4－t)e－t．所以当2＜t＜4时，h(t)＞0，h(t)单调递增，当t＞4时，h(t)＜0，h(t)单调递减，因此，当t＝4时h(t)取得最大值h(4)＝32e－4，…10分即es－t取得最大值e－4，故t－s的最小值为4．…12分21．解：（1）设An：Xn＝1，Bn：Xn＝0，则P(An)＋P(Bn)＝1．由于第一次取球之前，两个袋子中的两球颜色各不相同，要使取球交换之后同一个袋子内的两球颜色仍然保持不同，需要取出的两球颜色相同，则2×11P(B)＝＝．…4分12×2211（2）当n≥2时，由（1）得P(B|B－)＝，则P(A|B－)＝．nn12nn12很明显，P(An|An－1)＝0，依据全概率公式，得P(An)＝P(An－1)P(An|An－1)＋P(Bn－1)P(An|Bn－1)11＝P(B－)P(A|B－)＝P(B－)＝[1－P(A－)]，n1nn12n12n1111则P(A)－＝－[P(A－)－]，n32n131111由（1）得P(A)＝1－P(B)＝，则P(A)－＝[P(A)－](－)n－1，112n3132111则P(A)＝＋(－)n－1．…8分n362（3）由（1）（2）得Xn的分布列，如下表所示：X10nPP(A)P(B)nn则E(Xn)＝1×P(An)＋0×P(Bn)＝P(An)，nnn由Y＝Xi得E(Y)＝E(Xi)＝P(Ai)i=1i=1i=111×[1－(－)n]n12n11＝＋×＝＋[1－(－)n]．…12分3613921－(－)2高三数学答案第3页（共4页）{#{QQABBYSQggiAABIAABhCQQUwCAOQkACCAAgOwEAMoAAByBFABAA=}#}22．解：91（1）由题意得，－＝1，a＝b…2分a2b2解得a2＝b2＝8，x2y2所以双曲线方程－＝1．…4分88x2y2（2）设P(x，y)，则0－0＝1y2＝x2－8，00880022y0－1y0＋1y0－1x0－9所以，kPA×kPB＝×＝2＝2＝1，…6分x0－3x0＋3x0－9x0－972设PA：y－1＝k(x－3)y＝kx＋1－3k，|AM|＝1＋k23－＝1＋k2；|3|311317161设PB：y＋1＝(x＋3)y＝x－1＋，|BN|＝1＋＋3＝1＋；kkkk2|3|3k2…8分2161令k2＝t＞0，s＝|AM|＋|BN|＝1＋t＋1＋，33tt(tt－8)s＝，则…10分3t21＋ts＞0t＞4；s＜00＜t＜4；105所以t＝4，即k＝±2时，|AM|＋|BN|取最小值为．…12分3高三数学答案第4页（共4页）{#{QQABBYSQggiAABIAABhCQQUwCAOQkACCAAgOwEAMoAAByBFABAA=}#}