2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．1一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{0，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则a＋b＝( )A.1B.2C.3D.42.若1＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个根，则( )A.p＝2，q＝2B.p＝2，q＝－2C.p＝－2，q＝2D.p＝－2，q＝－23.若(x＋y)6＝a0y6＋a1xy5＋a2x2y4＋…＋a6x6，则(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2的值为( )A.0B.32C.64D.1284.在音乐理论中，若音M的频率为m，音N的频率为n，则它们的音分差1200log2eq\f(m,n).当音A与音B的频率比为eq\f(9,8)时，音分差为r；当音C与音D的频率比为eq\f(256,243)时，音分差为s，则( )A.2r＋3s＝600B.3r＋2s＝600C.5r＋2s＝1200D.2r＋5s＝12005.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x－2y＋2＝0与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值为( )A.4B.8C.12D.166.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6，8)，将eq\o(OA,\s\up6(→))绕点O顺时针旋转eq\f(π,4)后得eq\o(OA′,\s\up6(→))，则A′的纵坐标为( )A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.eq\r(5)7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，若f(eq\f(π,4))＝0，f(π)＝－1，f(x)的最小正周期T>2π，则φ的值为( )A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)8.若实数a，b，c满足6a＝12ac＝3，3b－ab＝5a－ab，则a，b，c的大小关系是( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知一组数据为4，1，2，5，5，3，3，2，3，2，则( )A.标准差为eq\f(8,5)B.众数为2和3C.第70分位数为eq\f(7,2)D.平均数为310.用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是( )A.锐角三角形B.直角梯形C.正五边形D.边长不全相等的六边形11.已知定义域为R的函数f(x)＝x4－x2＋ax＋1，则( )A.存在唯一的实数a，使函数f(x)的图象是轴对称图形B.存在实数a，使函数f(x)为单调函数C.对任意实数a，函数f(x)都存在最小值D.对任意实数a，函数f(x)都存在两条过原点的切线12.过圆O：x2＋y2＝8内一点P(1，eq\r(3))作两条互相垂直的弦AB，CD，得到四边形ADBC，则( )A.AB的最小值为4B.当AB＝2eq\r(5)时，CD＝2eq\r(7)C.四边形ADBC面积的最大值为16D.eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))为定值三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13.若椭圆C2的焦点在y轴上，且与椭圆C1：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率相同，则椭圆C2的一个标准方程为________．14.某公司决定从甲、乙两名员工中选一人去完成一项任务，两人被选中的概率都是0.5.根据以往经验，若选员工甲，按时完成任务的概率为0.8；若选员工乙，按时完成任务的概率为09.则选派一名员工，任务被按时完成的概率为________．15.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10S2，则eq\f(S6,S2)的值为________．16.一名学生参加学校社团活动，利用3D技术打印一个几何模型．该模型由一个几何体M及其外接球O组成，几何体M由一个内角都是120°的六边形ABCDEF绕边BC旋转一周得到，且满足AB＝AF＝DC＝DE，BC＝EF，则球O与几何体M的体积之比为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知eq\f(sinA,sinC)＋eq\f(sinC,sinA)＝2cosB＋1.(1)求证：b2＝ac；(2)若eq\f(b2,a2＋c2)＝eq\f(2,5)，求cosB的值．18.(本小题满分12分)已知数列{an}满足eq\f(3an,an＋1)＝eq\f(2an＋1,a2)，eq\f(2,a1)＋eq\f(1,a2)＝eq\f(1,a3)，a＞0.(1)求证：数列{eq\f(1,an)}是等差数列；(2)求数列{anan＋1}的前n项和Sn.19.(本小题满分12分)甲、乙两个学校进行球类运动比赛，比赛共设足球、篮球、排球三个项目，每个项目胜方得100分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，0.5，各项目比赛互不影响．(1)求乙校获得冠军的概率；(2)用X表示甲校的总得分，求X的分布列与数学期望．20.(本小题满分12分)如图，在三棱台ABCDEF中，已知平面ABED⊥平面BCFE，BA⊥BC，BC＝3，BE＝DE＝DA＝eq\f(1,2)AB＝1.(1)求证：直线AE⊥平面BCFE；(2)求平面CDF与平面AEF所成角的正弦值．21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线l与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左支交于A，B两点，直线OA与双曲线C的右支交于点D.已知双曲线C的离心率为eq\r(2)，当直线l与x轴垂直时，BD＝eq\r(2)AB.(1)求双曲线C的标准方程；(2)求证：直线BD与圆O：x2＋y2＝2相切．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－eq\f(1,6)ax3(a≠0)，记fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N),f0(x)＝f(x).(1)当x>0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的最大值；(2)当a＝1时，设gn(x)＝eq\i\su(i＝2,n,f)i(x)，对任意的n≥3，当x＝tn时，y＝gn(x)取得最小值，求证：gn(tn)>0且所有点(tn，gn(tn))在一条定直线上；(3)若函数f0(x)，f1(x)，f2(x)都存在极小值，求实数a的取值范围．2022～2023学年高三年级模拟试卷(泰州)数学参考答案及评分标准1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.A 7.D 8.D 9.BCD 10.BC 11.ACD 12.ABD13.形如eq\f(y2,2t)＋eq\f(x2,t)＝1(t＞0)都行 14.0.85 15.91 16.eq\f(56\r(7),81)17.(1)证明：由正弦定理知eq\f(sinA,sinC)＋eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(a,c)＋eq\f(c,a)，由余弦定理知cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，(3分)所以eq\f(a,c)＋eq\f(c,a)＝2·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋1，化简得b2＝ac.(5分)(2)解：因为eq\f(b2,a2＋c2)＝eq\f(2,5)，b2＝ac，所以eq\f(a2＋c2,ac)＝eq\f(5,2).(7分)由(1)知eq\f(a2＋c2,ac)＝2cosB＋1，所以2cosB＋1＝eq\f(5,2)，即cosB＝eq\f(3,4).(10分)18.(1)证明：因为数列{an}满足eq\f(3an,an＋1)＝eq\f(2an＋1,a2)，a2＞0，令n＝1，得eq\f(3a1,a2)＝eq\f(2a1＋1,a2)，所以a1＝1，(2分)令n＝2，得eq\f(3a2,a3)＝eq\f(2a2＋1,a2).又因为eq\f(2,a1)＋eq\f(1,a2)＝eq\f(1,a3)，a2＞0，所以a2＝eq\f(1,3)，(4分)所以eq\f(an,an＋1)＝2an＋1，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2an＋1,an)＝2＋eq\f(1,an)，故eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为1，公差为2的等差数列．(7分)(2)解：由(1)知，eq\f(1,an)＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以anan＋1＝eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，(9分)Sn＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(n,2n＋1)，即数列{anan＋1}的前n项和Sn＝eq\f(n,2n＋1).(12分)19.解：(1)甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，0.5，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率0.40.60.5乙学校获胜概率0.60.40.5乙校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，若乙校3场全胜，概率为P1＝0.6×0.4×0.5＝0.12，若乙校获胜2场败1场，概率为P2＝0.6×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＋0.4×0.4×0.5＝0.38，所以乙校获得冠军的概率为P＝P1＋P2＝0.5.(5分)(2)甲校的总得分X的可能取值为0，100，200，300，其概率分别为P(X＝0)＝0.6×0.4×0.5＝0.12，P(X＝100)＝0.4×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＋0.6×0.4×0.5＝0.38，P(X＝200)＝0.4×0.6×0.5＋0.4×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＝0.38，P(X＝300)＝0.4×0.6×0.5＝0.12，则X的分布列为X0100200300P0.120.380.380.12X的数学期望E(X)＝0×0.12＋100×0.38＋200×0.38＋300×0.12＝150.(12分)20.(1)证明：在三棱台ABCDEF中，DE∥AB.因为BE＝AD，所以四边形ABED为等腰梯形．因为BE＝DE＝1，AB＝2，所以可得∠ABE＝eq\f(π,3).在△ABE中，由余弦定理可得AE＝eq\r(3)，所以BE2＋AE2＝AB2，所以AE⊥BE.(3分)又因为平面ABED⊥平面BCFE，平面ABED∩平面BCFE＝BE，AE⊂平面ABED，所以直线AE⊥平面BCFE.(5分)(2)由(1)知AE⊥平面BCFE，因为BC⊂平面BCFE，所以AE⊥BC.又BC⊥BA，AE，BA⊂平面ABED，所以BC⊥平面ABED.又BC⊂平面ABC，所以平面A