赤峰市高三年级期末模拟考试试题文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知，，（i为虚数单位），则（）A． B．1 C． D．33．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济价值．如图1所示的统计图是某单位结合近几年的数据，对今后几年的5G直接经济产出做出的预测．则以下结论错误的是（）A．运营商的5G直接经济产出逐年增加B．设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的5G直接经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则 ②若，，，则③若，，则 ④若，，则其中正确的命题个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．已知向量，的夹角为，，，则向量在向量方向上的投影为（）A．4 B． C． D．6．设，，，则（）A． B． C． D．7．函数是定义在R上奇函数，且，，则（）A．0 B． C．2 D．18．已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则与分别等于（）A．1， B．1， C．2， D．2，9．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的面积为，且，的中点为D，则的最小值为（）A． B．4 C． D．10．双曲线的左顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称．若直线，的斜率之积为，则C的离心率为（）A． B． C． D．11．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，为球O的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球O的表面积为（）A． B． C． D．12．已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则______．14．在上随机取一个数a，则事件“直线与圆相离”发生的概率为______．15．抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______．16．设有下列四个命题：①：，为假命题，则；②：函数的最小值为；③：关于x的不等式对恒成立的一个必要不充分条件是；④：设函数，如果，且，令，那么t的最小值为；则上述命题为真命题的序号是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知单调递增的等差数列，且，，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．18．（12分）为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查．问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占：女生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占．据调查结果制作了如下列联表．更擅长理科其他合计男生女生合计（1）请将的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数恰为1人的概率．附：，其中．0.0500.0250.0100.0013.8415.0246.63510.82819．（12分）在四棱锥中，，，平面，E为的中点，M为的中点，．（1）取PC中点F，证明：平面AEF；（2）求点D到平面ACE的距离．20．（12分）已知椭圆的长轴长为4，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，，直线l过坐标原点O交椭圆C于P，Q两点（点A，B位于直线l的两侧）．设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为，，，，求证：为定值．21．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）对任意，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半拍为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且两曲线与交于M，N两点．（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）设，求．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为t，若，，且，证明：．赤峰市高三1·30模拟考试试题文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案AACDBABDAAAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．①④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（1）解：设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得．则，，所以的通项公式为．（2）解：因为与之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，所以．18．（12分）（1）解：补充的列联表如下：更擅长理科其他合计男生223355女生93645合计3169100所以，所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关．（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科，用，表示更擅长理科的两人，用，，表示其他三人，则从这5人中，任取两人共有以下10种情况：，，，，，，，，，，满足条件的有，，，，，共6种情况，所以概率为．19．（12分）（1）证明：因为中点F，在中，，，则，．而，则在等腰三角形APC中，①．又在中，，，则，因为平面ABCD，平面ABCD，则，又，即，，则平面PAC，因为平面PAC，所以，因此②．又，由①②知平面AEF；（2）在中，，，∴，又，平面ABCD，∴平面ABCD，即EM为三棱锥的高，∴，在中，，，∴，设点D到平面ACE的距离为h，则，∴，即点D到平面ACE的距离为．20．（12分）（1）解：由题意得解得，．所以椭圆C的方程为．（2）点A，B的坐标分别为，．设点P的坐标为，由对称性知点Q的坐标为．所以，．所以．又因为点P在椭圆上，所以，即，所以．同理．所以为定值．21．（12分）（1）解：由题意得的定义域是，，当时，令恒成立，∴在单调递增，当时，令，解得，令，解得：，∴在上单调递增，在上单调递减；综上：当时，在单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：要证，即证，令，则，令，则，由在单调递增，且，，∴存在唯一的实数，使得，∴在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，综上，，即．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程（1）解：由曲线的参数方程消去参数t，得，即曲线的直角坐标方程为．由曲线的极坐标方程，得，则即的直角坐标方程为．（2）解：因为在曲线上，所以曲线的参数方程为（t为参数），代入的直角坐标方程，得．设M，N对应的参数分别为，，则，，所以．23．（10分）选修4-5：不等式选讲（1）解：不等式等价于或或，解得或或．所以不等式的解集为．（2）解：法一：由知，当时，，即．法二：，当且仅当时，取得等号，则的最小值为2，即．法一：，当且仅当，不等式取得等号，所以．法二：由柯西不等式可得：．当且仅当，不等式取得等号，所以．