2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．2一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1.设集合A＝{x|x＜2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－1,x－3)≤0))，则(∁RA)∩B＝( )A.(1，2)B.[1，2]C.[2，3)D.[2，3]2.命题“∀x＞0，x＞eq\f(1,x)”的否定为( )A.∃x＞0，x≤eq\f(1,x)B.∃x≤0，x≤eq\f(1,x)C.∀x＞0，x≤eq\f(1,x)D.∀x≤0，x≤eq\f(1,x)3.若复数z＝eq\f(a＋3i,3＋i)(a∈R)是纯虚数，则z＝( )A.－1B.－iC.－aiD.3i4.已知两个单位向量a，b满足(2b－a)⊥(2a－b)，则a与b的夹角的余弦值为( )A.－eq\f(4,5)B.－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(4,5)5.已知正三棱柱ABCA1B1C1与以△ABC的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为( )A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,π)C.eq\f(π,2)D.26.设Ceq\o\al(0,n)(x＋2)n－Ceq\o\al(1,n)(x＋2)n－1＋Ceq\o\al(2,n)(x＋2)n－2－…＋(－1)nCeq\o\al(n,n)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an，则a1＋a2＋…＋an－1＝( )A.2n－1－2B.2n－1－1C.2n－2D.2n－17.下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨标准煤)的几组对应数据：x/吨3456y/吨标准煤2.5344.5已知该厂技术改造前100吨产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据以上数据求出的线性回归方程，预测该厂技术改造后100吨产品的生产能耗比技术改造前降低了( )参考公式：在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－nxy,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－nx2)，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值．A.19.65吨标准煤B.29.65吨标准煤C.70.35吨标准煤D.90吨标准煤8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|ex－1|，x≤1，,\f(lnx＋x,x－1)，x＞1，))则f(f(x))＝1解的个数为( )A.2B.3C.4D.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某次测试，经统计发现测试成绩服从正态分布，函数P(x)＝eq\f(1,\r(2π)×10)e－eq\f(（x－90）2,200)(x∈R)的图象为其正态密度曲线，则下列说法正确的是( )A.这次测试的平均成绩为90B.这次测试的成绩的方差为10C.分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同D.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同10.已知双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线的右支上，则下列说法正确的是( )A.若直线PF1的斜率为k，则|k|∈[0，eq\f(3,4))B.使得△PF1F2为等腰三角形的P有且仅有四个C.点P到两条渐近线的距离乘积为eq\f(144,25)D.已知点Q(7，5)，则F2P＋PQ的最小值为511.已知函数f(x)＝2x－tanx，则下列结论正确的是( )A.函数f(x)不是周期函数B.函数f(x)的图象只有一个中心对称点C.函数f(x)的单调递减区间为(2kπ－eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(π,4))，k∈ZD.曲线y＝f(x)(－eq\f(π,2)＜x＜eq\f(π,2))只有一条过点(1，0)的切线12.若棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的顶点都在半径为R的球面上，球面上点P与球心O分别位于平面ABCD的两侧，且四棱锥PABCD是侧棱长为l的正四棱锥．记正四棱锥PABCD的侧棱与直线AB所成的角为α，与底面ABCD所成的角为β，则下列说法正确的是( )A.15°＜α＜45°B.15°＜β＜45°C.R＝eq\f(\r(3),2)aD.l＝eq\f(4,5)a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.数据23，76，45，37，58，16，28，15，53，24，42，36的25百分位数是________．14.在平面直角坐标系xOy中，点P到直线x＝－2与到点F(2，0)的距离相等，点Q在圆(x－10)2＋y2＝25上，则PQ的最小值为________．15.已知函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,ex＋e－x)＋x2，则不等式f(x＋1)＋f(x－1)＜2x2＋2的解集为________．16.已知数列{an}中，a1＝1，n2an＋1＝2(n＋1)2an.记bn＝eq\f(1,2)an＋1－an，则{an}的通项公式an＝________；{bn}的前n项和Tn＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．(1)记从甲袋中取出的2个球中恰有X个白球，求随机变量X的概率分布和数学期望；(2)求从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率．18.(本小题满分12分)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a1＋a2＝b3，15a1＋a9＝b6.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn＝log2bn＋1，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(ceq\o\al(2,n),anan＋1)))的前n项和Sn.19.(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，边AB上的高CD为1，且c2＝abcosC.(1)求证：eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB)＝eq\f(1,tanC)；(2)求AB的最小值．20.(本小题满分12分)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB，AC于点M，N.将△AMN沿着MN折起至△A1MN，使得二面角A1MNB是直二面角．(1)若平面A1MN∩平面A1BC＝l，求证：l∥BC；(2)若三棱锥A1AMN的体积为1，求二面角NA1MB的正弦值．21.(本小题满分12分)已知点P(2，－1)在椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，C的长轴长为4eq\r(2)，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点，直线PA，PB的斜率之积为eq\f(1,4).(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求QA2＋QB2的值．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋ax2＋3ax＋1－a2，a∈R.(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)有两个极值点x1，x2，若过点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线恒在函数g(x)＝x·ex－lnx＋x图象的下方，求实数a的取值范围．2022～2023学年高三年级模拟试卷(常州)数学参考答案及评分标准1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C 7.A 8.A 9.AD 10.ABC 11.AD 12.BC13.23.5 14.3 15.(－∞，0) 16.n22n－1 (2n－1)2n＋117.解：(1)X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(2,7)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(4,7)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，所以随机变量X的概率分布为X012Peq\f(2,7)eq\f(4,7)eq\f(1,7)所以随机变量X的数学期望为E(X)＝0×eq\f(2,7)＋1×eq\f(4,7)＋2×eq\f(1,7)＝eq\f(6,7).(5分)(2)记事件B：从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球，(1)中X＝0，1，2正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，由全概率公式，得P(B)＝eq\o(∑,\s\up6(2),\s\do4(i＝0))P(X＝i)P(B|X＝i)＝eq\f(2,7)×eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))＋eq\f(4,7)×eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,5))＋eq\f(1,7)×eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(19,35)，所以从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率为eq\f(19,35).(10分)18.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.因为a1＝b1＝1，a1＋a2＝b3，15a1＋a9＝b6，所以2＋d＝q2≠0，16＋8d＝q5，所以q3＝eq\f(16＋8d,2＋d)＝8，所以q＝2，d＝2.从而an＝2n－1，bn＝2n－1.(6分)(2)易知cn＝log2bn＋1＝log22n＝n，所以eq\f(ceq\o\al(2,n),anan＋1)＝eq\f(n2,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(n2,4n2－1)＝eq\f(1,4)[1＋eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)]＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，所以Sn＝eq\f(ceq\o\al(2,1),a1a2)＋eq\f(ceq\o\al(2,2),a2a3)＋…＋eq\f(ceq\o\al(2,n),anan＋1)＝eq\f(n,4)＋eq\f(1,8)(eq\f(1,1)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，即Sn＝eq\f(n,4)＋eq\f(n,4（2n＋1）)＝eq\f(2n2＋2n,8n＋4)＝eq\f(n2＋n,4n＋2).(12分)19.解：(1)由c2＝abcosC及正弦定理得sin2C＝sinAsinBcosC，所以eq\f(sinC,sinAsinB)＝eq\f(cosC,sinC).因为锐角三角形中，A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以eq\f(sinAcosB＋cosAsinB,sinAsinB)＝