合肥市2023年高三第一次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1.A2.B3.A4.B5.C6.D7.D8.C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.9.ABC10.BC11.BD12.ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.514.1515.，16.，2221四、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分10分)322(1)设等差数列a的公差为d，由aa2，Sa2得ad2，且3adad，n52321112解得d1或d0(舍去)，∴a12.∴ann1.……………………………………4分11111(2)∵，22ann1nn11nn1111111111∴.……………………10分2222111a1a2a3an223nn1n118.(本小题满分12分)方法一：(1)∵BPC1Q3，BP∥C1Q，∴BPN≌C1QN.∴BNC1N，即点N为线段BC1的中点.1过点作NEBC于点E，则NE∥CC,且NECC2，121∴NE∥AM,且NEAM2，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.又∵MN平面ABCD，AE平面,∴MN∥平面.………………6分(2)设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，则121VVV2V2SDA34416.………………12分BMPDBQPDDBMP3BPM32方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M(4，0，2)，P(4，4，3)，Q(0，4，1).A(4，0，0),B(4，4，0),C(0，4，0),∴AB0，4，0，BC-4，0，0.∵BPC1Q3，BB1∥CC1，∴点为的中点，则(2，4，2)，1∴MN2，4，0ABBC,2N∴MN与AB，BC共面，且MN平面ABCD，∴∥平面.………………………………6分(2)∵(0，0，0)，(4，0，2)，(4，4，3)，(0，4，1)，则DMQP=（4，0，2），∴DM∥QP，且DMQP,∴四边形PQDM为平行四边形,高三数学试题答案第1页（共4页）且DM25,DQ17.……………………………7分∵DM4，0，2，DQ0，4，1，DMDQ21221∴cosMDQ，∴sinMDQ，DMDQ25178585221∴SDMPQDMDQsinMDQ2517421.854xz20，设nx，y，z为平面DMPQ的法向量，则4yz0.令y1，则x2，z4，即n2，1，4，n12421∴点B到平面DMPQ的距离为DB，n2171421∴四棱锥BDMPQ的体积为42116.……………………………………12分3719.(本小题满分12分)b2c2a2bsinB(1)∵b22c22a20，即b22(b2c2a2)，∴cosA，2bc4c4sinC∴4sinCABACACcossinsincoscossin，即tanAC3tan.1当tanC时，tanAC3tan1，3又∵A0，，∴A.…………………………6分4(2)由(1)知，tanAC3tan，∴0CA，2tanACCtan2tan2231tanAC，当且仅当3tanC，即当211tanACtan13tanC3tanC233tanCtanC33tanC，C时，等号成立，∴tanAC的最大值为，363又∵0AC，∴AC的最大值为，此时A,B.2632∴ABC为直角三角形.……………………………………12分20.(本小题满分12分)xxxx222x2(1)由y得，代入xy2得y1，yyy222x2∴曲线E的方程为y21.……………………………………4分2(2)当直线l的斜率存在时，设l：ykx1.2x2y12222由2消去y整理得，12kx4kx2k20.ykx14k2xx122，12k设Ax11，y，Bx22，y，则22k2xx.1212k22k2∴以AB为直径的圆的圆心横坐标为.12k2高三数学试题答案第2页（共4页）222又∵AB1kx1x21kx1x24x1x2224kk2222221k2，14k22212kk1212k21k2∴以AB为直径的圆的半径为R，12k22kk2222圆心到直线x2的距离为d2，12kk22122222k221k221kdR0，即dR，12k212k212k2∴以为直径的圆与直线x2相离.……………………………………10分121当直线l的斜率不存在时，易知以为直径的圆的半径为，圆的方程是xy12，该圆与直线x222相离.综上可知，以为直径的圆与直线相离.……………………………………12分21.(本小题满分12分)C3177657(1)∵17，∴，C324yy1y224y1111∴y1y11y127201098，∴y110.……………………………………5分662(2)∵，∴，∴.xi54x9xxi64i1i166xxyyxxyyiiii15∵ri1i1，662281616xiixyyii116∴，xiixyy815i1nxxyyii81515∴bi1.n2648xxii162666又∵2222，解得.yiyyi2yyi6yyi6y256y22i1i1i1i11541∴aybx229，……………………………10分8841154115∴yx，当x15时，y1533，8888∴可以估计，昼夜温差为15OC时，该校新增患感冒的学生数为33人.……………………………12分22.(本小题满分12分)1a1x22xa(1)fx22，x0.……………………………1分x22xx2①当44a0，即a1时，fx0恒成立，此时，fx在0，上单调递减.……………………………2分44a0②当，即01a时，由fx0解得，xa11.a0由fx0解得，11ax11a；由fx0解得，0xa11或xa11，高三数学试题答案第3页（共4页）此时，fx在0，11a和11a，上单调递减，在11aa，11上单调递增.………4分44a0③当，即a0时，a0由fx0，解得xa11或xa11(舍)，由fx0，解得0xa11；由fx0，解得xa11，此时，在0，11a上单调递增，在11a，上单调递减.………………………6分ax2(2)令gxfxalnxa，则gxfx.2x由(1)知，当a1时，gx在0，上单调递减，∴gx在上至多有一个零点，不符合题意舍去.……………………………7分∵a是整数，∴a0，1.当a0时，由(1)知在0，11a上单调递增，在上单调递减，axax且当x0时，gxlnxa；当x时，gxlnxa.22x22x若在上有两个零点，则ga110.2aa11a∵g11ln11aaaln11a1a，211a11a令11at，则at22t(t2).12tt2312tt11∴gtlntt23t1，则gt2t30，ttt∴gt在2，上单调递增.又∵g2ln210，g3ln310，∴存在唯一的t02，3，使得gt00，2当tt0时，gt0，此时at002t3，0.21若a1，则t12，g12ln12123121ln12.121令Fxlnx，则Fx在上单调递增，x11214又∵Fe2ln2ln2ln2lnln0，∴FF12(2)0，221ee2当t12时，gt()0.此时，11a12，∴a1.∴当a1时，ga110成立，∴a的最大整数值为1.……………………………12分高三数学试题答案第4页（共4页）