淮北市2023届高三第一次模拟考试数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．．已知全集，集合2和，则集合的元1URPxx2x30Qxx2k1,kPQðU素个数为（）A．1B．2C．3D．4．z22．已知复数z在复平面内对应点的坐标是2,1，则（）z115155353A．iB．iC．iD．i222222223．如图所示，在三棱台A'''BCABC中，沿平面A'BC截去三棱锥A'ABC，则剩余的部分是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体cos213π4．已知则sin（）sincos342121A．B．C．D．6363x25．在平面直角坐标系xOy中，点Ax,y，Bx,y在椭圆C:y21上，且直线OA，OB的斜率之112221积，则x2y2x2y2（）211215A．1B．3C．2D．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，»AB，CD»，EF»，GH¼分别是单位圆上的四段弧，点P在其中一段弧上，角以Ox为始边，OP为终边．若sincostan，则点P所在的圆弧是（）A．»ABB．CD»C．CD»D．GH¼7．如图，对于曲线所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点A，B恒有AOB成立，则称角为曲线的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线xex11,x0,的相对于点O的“确界角”．已知曲线C:y（其中e2.71828L是自然对数的底数），24xx1,x0,O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（）A．B．C．D．64328．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中n60，nA30，nB10，nC20，nD30，nAB40，nAB10，nAD60，则（）A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立C．C与D互斥D．A与C相互独立二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分uuuruuuruuur9．已知D是△ABC的边BC上的一点（不包含顶点），且ADxAByAC，其中x,yR，则（）A．xy1B．x2y1C．xy2D．log2xlog2y210．已知函数fxxln1x，则（）A．fx在0,单调递增B．fx有两个零点11C．曲线fx在,f点处切线的斜率为1ln222D．fx是奇函数11．已知曲线:y216x，直线l过点F4,0交于A，B两点，下列命题正确的有（）A．若A点横坐标为8，则AB24B．若P2,3，则APAF的最小值为6C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线x3y60有且只有一个公共点uuuruurD．若AF2FB，则以线段AB为直径的圆的面积是8112．如图，以正方形的一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作，保持所作的直角三角形都相似，得四个正方形，记为A、B、C、D，其面积记为SA，SB，SC，SD，则下列结论正确的有（）A．SSSSADBCB．SSSSADBCC．SSSADB2D．SSSADC2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．6213．x的展开式中的常数项为______．（用数字作答）x14．已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，ABC120，棱长均为4，AB，CC1的中点分别为P、Q，则三棱锥PADQ11的体积为______．ex,x0,x15．设fxe,0x1若互不相等的实数x1，x2，x3满足fx1fx2fx3，则3x,x1.x1fx1x2fx2x3fx3的取值范围是______．x2y216．已知双曲线C:过点5,3，则其方程为______；设F，F分别为双曲线C的左右焦点，2612D为右顶点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则MDND的取值范围是______（第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题满分10分）设△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知csinCbsinBsinCsinA，b4．aa（1）求角B的大小46（2）若c，求△ABC的面积．318．（本题满分12分）已知数列an满足a11，an3an12，n2,n．（Ⅰ）求证：数列an1是等比数列；（Ⅱ）若bn2n1an1an，Sn为数列bn的前n项和，求Sn．19．（本题满分12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC2AB，ABC60，PBAC．（Ⅰ）求证：面PAB面ABCD；（Ⅱ）设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．20．（本题满分12分）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：个人赛奖项组别团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550（Ⅰ）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；（Ⅱ）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为，来自高二的人数为，试判断D与D的大小关系．（结论不要求证明）x2y221．（本题满分12分）已知椭圆:1ab0，A、F分别为的左顶点和右焦点，O为坐标原a2b2a点，以OA为直径的圆与交于M点（第二象限），OM．2（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）若b2，直线l∥AM，l交于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2．（ⅰ）若l过F，求k1k2的值；（ⅱ）若l不过原点，求S△OPQ的最大值．22．（本题满分12分）已知函数fxexkxk，kR．（Ⅰ）讨论函数fx的单调性；2fx（Ⅱ）当k1时，令gxx2（ⅰ）证明：当x0时，gx1；11（ⅱ）若数列满足：，xn1，证明：．xnx1egxnxnln1n32淮北市2023届高三一模数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案BDBCACBDADACBCDBC二、填空题9x2y2434313．240；14．43；15．2,16．1，,44123312．解：设123，最大正方形边长为1，小正方形A、B、C、D的边长分别为a，b，c，d则acos2，bcossin，csincos，dsin24422所以SSADsincos2sincos2SSBC2，故C正确44SSADsincosSSBC，故B正确所以选BC．x2y253x2y216．解①由双曲线C:过点5,3，所以2，所以方程为12626412②如图：设△AF1F2的内切圆与AF1，AF2，FF12分别切于H，D，G，所以AHAD，HF1GF1，DF2GF2，所以AF1AF2AHHF1ADDF2HF1DF2GF1GF22a，又GF1GF22c，所以GF1ac，GF2ca，又EF1ac，EF2ca，所以G与Ea,0重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也为a，设直线AB的倾斜角为，则EFM，EFN，2222MENEcatancatan22sinsin222cacoscos222cossinca22sincos22cos2sin2ca22sincos222coscasin当时，MENE0，2b当时，由题知，a2，c4，3．2a2因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以tan3或tan3，3323131244343∴，且0，MENE42,00,，3tan3tantantan334343综上所述，MENE,33x2y24343故①答案为：1；,41233三、解答题17．（本题满分10分）csinCbsinB解：（1）由sinCsinAaac2b2a2c2b21得ca，即a2c2b2ac，则cosB，所以B．aa2ac2346bc（2）注意到b4，B，c，由33sinBCsin46346432得，即sinC23．sinsinC42325又C0,，所以C．则A．3434125sinAsinsinsincoscossin124646462321622222411466243所以SbcsinA44．ABC2234318．（本题满分12分）a1（）注意到*，则，即n．1an3an12n2,nNan13an113an11所以an1是以a112为首项，以3为公比的等比数列．n1n1（2）由（1）知an123，故an231．nn14n所以bn2123123n1213n．34故S335327332n13n，两同乘以3，错位n343S335323213213nnnn1，两式相减得n342S3323232323213nnn1n3613n4n132n13313n8n3n*所以Sn4n3，nN19．（本题满分12分）（1）证明：在△ABC中，因BC2AB，ABC60所以BAC90，即ACAB，又ACPB，PB，AB相交，所以AC面PAB，所以面PAB面ABCD得证（2）假设存在点Q，使得平面BEQF平面PAD．uuuruuur如图，以A为原点，分别以AB，AC为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则A0,0,0，B2,0,0，C2,23,0，P1,0,3uuuruuuruuuruuurAD2,23,0，AP1,0,3，BD4,23,0，DP3,23,3，ururn1AD2x123y10设nx,,yz是平面PAD的法向量，则，取n3,1,111111n1APx13z10uuuruuur设DQDP，其中01．uuuruuuruuuruuuruuu