数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设z1i，则z2iA．iB．iC．1D．122．设集合A{2,3,a2a3}，B{0,3}，C{2,a}．若BA，AC{2}，则aA．3B．1C．1D．33．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为1111A．B．C．D．64324．平面向量a与b相互垂直，已知a(6,8)，|b|5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则bA．(3,4)B．(4,3)C．(4,3)D．(4,3)5．已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是1263A．B．C．D．23326．三棱锥ABCD中，AC平面BCD，BDCD．若AB3，BD1，则该三棱锥体积的最大值为42A．2B．C．1D．337．设函数f(x)，g(x)在R的导函数存在，且fx()gx()，则当x(a,b)时A．fx()gx()B．fx()gx()C．f()xg()ag()xf()aD．f()xg()bg()xf()bbbbb8．已知a，b，c满足alog5(23)，clog3(52)，则．≥，≥．≥，≤A|ac||bc||ab||bc|B|ac||bc||ab||bc|．≤，≥．≤，≤C|ac||bc||ab||bc|D|ac||bc||ab||bc|数学试题第1页（共5页）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(,0]单调递减，则A．ff((1))ff((2))B．f(g(1))f(g(2))C．gf((1))gf((2))D．g(g(1))g(g(2))10．已知平面平面l，B，D是l上两点，直线AB且ABlB，直线CD且CDlD．下列结论中，错误的有A．若ABl，CDl，且ABCD，则ABCD是平行四边形B．若M是AB中点，N是CD中点，则MN//ACC．若，ABl，ACl，则CD在上的射影是BDD．直线AB，CD所成角的大小与二面角l的大小相等11．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，起点为O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad/s，起点为射线y3xx(≥0)与O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为2π2π5π5πA．(cos,sin)B．(cos,sin)9999ππππC．(cos,sin)D．(cos,sin)999912．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的AB，AC，BD，CD都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MNOB，KNOB．记AOB，AOC，BOD，COD，则A．sinsincosB．coscoscossinC．sincoscoscosD．coscos数学试题第2页（共5页）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100,2)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得至多为．（若X～N(,2)，则P{|X|2}0.9545）14．若P，Q分别是抛物线x2y与圆(x3)2y21上的点，则|PQ|的最小值为．2235515．数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”与“密率”．它们可7113用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值34347为强率．由<π<，取3为弱率，4为强率，得a，故a为强率，与11111213710上一次的弱率3计算得a，故a为强率，继续计算，……．若某次得21232到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似22值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推．已知a，m7则m；a8．16．右图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”(1,1)(1,2)(1,3)两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按(2,2)将导致(1,2)，(2,1)，(2,1)(2,2)(2,3)(2,2)，(2,3)，(3,2)改变状态．如果要求只改变(1,1)(3,1)(3,2)(3,3)的状态，则需按开关的最少次数为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，ABAD，BAD60．（1）记圆柱的体积为V1，四棱锥PABCD的体积为V2，求V1；V2（2）设点F在线段AP上，PA4PF，PC4CE，求二面角FCDP的余弦值．数学试题第3页（共5页）18．（12分）πππ已知函数fx()sin(x)在区间(,)单调，其中为正整数，||，且622π2πf()f()．23（1）求yfx()图像的一条对称轴；π3（2）若f()，求．6219．（12分）n记数列{an}的前项和为Tn，且a11，anTn1（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；12n（2）设m为整数，且对任意nN，m≥，求m的最小值．a1a2an20．（12分）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．（1）若N5000，求X的数学期望；（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得P(X15)最大的N的值作为N的估计值）．21．（12分）x2y2已知双曲线C:1(a0,b0)过点A(42,3)，且焦距为10．a2b2（1）求C的方程；（2）已知点B(42,3)，D(22,0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，|GD||HD|H两点．证明：．|GE||HE|数学试题第4页（共5页）22．（12分）椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线C{(,)xy|y2x3axb,4a327b20}．PC关于x轴的对称点记为P．C在点Pxy(,)(y0)处的切线是指曲线yx3+axb在点P处的切线．定义“”运算满足：①若PC，QC，且直线PQ与C有第三个交点R，则PQR；②若PC，QC，且PQ为C的切线，切点为P，则PQP；③若PC，规定PP0*，且P0**0PP.（1）当4a327b20时，讨论函数h(x)x3axb零点的个数；（2）已知“”运算满足交换律、结合律，若PC，QC，且PQ为C的切线，切点为P，证明：PPQ；（3）已知Pxy(1,1)C，Qxy(2,2)C，且直线PQ与C有第三个交点，求PQ的坐标．参考公式：m3n3(mn)(m2mnn2)数学试题第5页（共5页）