广东实验中学2023届高三级第三次阶段考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。第一部分选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合，，则()A． B． C． D．2．若复数z满足,则z=()A． B． C． D．3．经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为()A．2 B． C．1D．4．设,且,且…等于()A． B． C． D．5．以等边三角形ABC为底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球，并且正三棱锥P-ABC的侧面与底面ABC所成的角为45°，记正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-ABC的体积分别为V1和V2，则()A．1 B． C． D．6．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度小于等于0.1mg/m3为安全范围，已知某新建文化娱乐场所施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为6.25mg/m3，3周后室内甲醛浓度为1mg/m3，且室内甲醛浓度p(t)（单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式,则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为()A．5周 B．6周 C．7周 D．8周7．设函数,,若函数g(x)在区间(-1,1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是()A． B．C． D．8．己知均为锐角，且，则tana的最大值是()A． B． C．2 D．4二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9．下列结论正确的有()A．某班有40名学生，从中随机抽取10名去参加某项活动，则每4人中必有一人被抽中B．己知，，，则C．设随机变量服从正态分布N(1，4)，且，则D．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数为3，90%分位数为9.510．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则()A．M，N，B，D1四点共面B．异面直线PD1与MN所成角的余弦值为C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形D．三棱锥P-MNB的体积为11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是()A．为定值B．的取值范围是C．当时，为定值D．时，的最大值为1212．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数,存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足,则称为的次不动点.下列说法正确的是()A．定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点B．定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点C．当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点D．满足函数在区间上存在不动点的正整数a不存在第二部分非选择题(90分)三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．在的展开式中，的系数为．14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是．15．已知双曲线，若过点(2，2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e的取值范围为____．16．某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花，该圆环区域被等分为n个部分（n≥4），每个部分从红，黄，蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，将总的栽植方案数用an表示，则a4=____，an=____．四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知数列中，对任意的,都有(1)若为等差数列，求的通项公式；(2)若，求的通项公式．18．（本小题12分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为，边界的中间部分为长l千米的直线段CD，且.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧(1)求曲线段FGBC的函数表达式；(2)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且,求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值.19．（本小题12分）已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线平面EMC(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°;若存在，指出点M的位置，若不存在，说明理由．20．（本小题12分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注 射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生 抗体．(i)用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；(ii)以(i)中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X=99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n．参考公式：（其中n=a+b+c+d为样本容量）0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02421．（本小题12分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合．(1)求抛物线C和圆M的方程；(2)设为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，且证明：点P在一条定曲线上．22．（本小题12分）已知函数(1)讨论的单调性；(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．数学参考答案一、单选1．C 2．A 3．A 4．D 5．D 6．B 7．C 8．B二、多选9．BCD 10．BCD 11．ACD 12．BC三、填空13．-360 14． 15． 16．18，四、解答17．解：方法一：(1)由条件，可得：，……1分因为为等差数列，设公差为d，由上式可得： ……3分的通项公式为 ……5分方法二：因为为等差数列，设，则 ……1分又，所以，，解得 ……3分的通项公式为 ……5分(2)由条件，可得：两式相减得： ……7分因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列； ……8分偶数项是首项为1公差为4的等差数列． ……9分综上： ……10分18．解：(1)由己知条件，得A=2，……1分又， ……2分又当时，有，且……3分曲线段FGBC的解析式为，……5分（没有定义域扣1分）(2)如图，, ……6分作轴于P1点，在中：在中，……8分 ……9分 ……11分当时，即时，平行四边形面积有最大值为（平方千米）……l2分19．解：(1)直线平面ABFE，故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，延长FM交EA的延长线于O，……1分,M为AB的中点，,,所以点O在EA的延长线上，且AO=2，……2分连接DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形,是FD的中点，连接MN，因为MN为△DOF的中位线，……3分又平面EMC，平面EMC……3分直线平面EMC． ……5分(2)由己知可得，,为二面角,D-EF-A的平面角,,平面ADE，又EF平面ABFE，平面ABFE平面ADE.作于H，则平面AEFB，易得H为AE中点……6分以H为坐标原点，以HA，HD所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,,,,所以,设,则设平面EMC的法向量，则取y=﹣2，则，，所以 ……8分与平面EMC所成的角为60°， ……10分，得或，即M为线段AB的三等分点． ……11分存在线段AB的三等分点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°．……12分20．解：(1)由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：在内有0.0025×20×200=10(只)；在内有0.00625×20×200=25(只)；在内有0.00875×20×200=35(只)；在内有0.025×20×200=100(只)抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200在内有0.0075×20×200=30（只）．由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只……2分零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．根据列联表中数据，得……4分根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05 ……5分(2)(i)令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”记事件A，B，C发生的概率分别为则， ……6分所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 ……8分(ii)由题意，知随机变量，因为最大，所以 ……9分解得 ……11分是整数，所以或接受接种试验的人数为109或110．……12分21．解：(1)由题设得 ……1分抛物线C的方程为 ……2分因此，抛物线的焦点为，即圆M的圆心为M由圆M与y轴相切，所以圆M半径为1，所以圆M的方程为……4分(2)证明：由于,每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则故设过点P且与圆M相切的切线方程为,即依题意得 ……5分整理得①；……6分设直线PA，PQ的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故，②， ……7分由，得③因为点，则④，⑤，……9分由②，④，⑤三式得……10分即，则即所以点P在圆 ……l2分22．解：(1)由题意的定义域为，又 ……1分当a<0时，因为x>0，所以，故在上单调递减；……2分当a>0时，令，解得：当时，，故在上单调递增，当时，，故在上单调递减，……3分综上所述，当a<0时，函数的单调递减