福宁古五校教学联合体2023届高三毕业班三月质量监测数学试题（满分150分，120分钟完卷）一、单选题：1．集合，，若，则的值为（ ）A.0 B.1 C.2 D.32．已知复数，则（ ）A．2 B．3 C．4 D．53.已知，则的值为（ ）A． B． C． D．4.恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数n来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕．某地区家庭2022年底恩格尔系数n为50%，刚达到小康，预计从2023年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数n满足30%＜n≤40%达到富裕水平，至少经过（ ）年（参考数据：lg0.6≈﹣0.22，lg0.8≈﹣0.10，lg12≈1.08，lg13≈1.11）A．8年 B．7年 C．4年 D．3年5.如图，圆半径为，圆外一点到圆心的距离为，过引圆的两条切线，切点分别记为、，为圆上的一个动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D.6．已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（    ）A． B． C．8 D．107.如图1所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E、F、M分别为线段BC、CD、BE的中点，分别沿AE、AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B、C、D三点重合于点P，得到如图2所示的三棱锥P﹣AEF，则下列结论中正确的有（ ）A．点在平面上的投影为的外心 B．直线AM与平面PEF所成角的正切值为2 C．三棱锥P﹣AEF的内切球半径为 D．过点M的平面截三棱锥P﹣AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为8．已知，，，则（ ）A. B. C. D.二、多选题：9.如图，在棱长为2的正方体中，点分别是的中点，则（  ）A．四点共面B．直线与平面平行C．异面直线与所成角的余弦值为D．过三点的平面截正方体所得图形面积为10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）A.若函数的图象关于点中心对称，则B.当时，函数过原点的切线有且仅有两条C.函数在上单调递减的充要条件是D.若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或11．已知函数，则A.的最小正周期为 B.的图象关于对称C.在上有四个零点 D.的值域为12.已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与C交于，两点，，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是α与β，则（ ）A．sinα＞tanβ B．∠AEF＝∠BEF C．∠AEB<90° D．α＜2β三、填空题：13．展开式中的系数为_________（用数字作答）14．已知圆与圆内切，则的最小值为15．已知某批零件的质量指标单位：毫米服从正态分布，且，现从该批零件中随机取件，用表示这件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则16．已知函数，若，且的最大值为4，则实数的值为_______．四、解答题：17．在数列中，，且.(1)令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求.18．记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求证：B＝C；（2）若asinC＝2，求的最大值．19．如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，D为的中点，，且，平面平面.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值.20.某购物中心准备进行扩大规模，在制定未来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度。调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况。假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：商品质量服务质量购物环境广告宣传顾客甲满意不满意满意不满意顾客乙不满意满意满意满意顾客丙满意满意满意不满意每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据。（1）求购物中心得分为50分的概率；（2）若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？（3）列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分的数学期望。21.已知椭圆的离心率为，过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F，定直线，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，过A，B两点分别作于，于，直线、交于点，证明：点为定点，并求出点的坐标.22．已知函数，其中为实数，为自然对数底数，.（1）已知函数，，求实数取值的集合；（2）已知函数有两个不同极值点、，证明