２０２３年河南省五市高三第一次联考数学理科参考答案一、选择题１?５ ＡＢＤＢＣ ６?１０ ＤＣＣＣＤ １１?１２ ＤＡ二、填空题５－１＋１３１３．－ｘ １４．７ １５．槡 １６．０槡２三、解答题ｎ＋１１７．解：（１）已知Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，且Ｓｎ＝２－１（ｎ∈Ｎ），２ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝２－１＝３，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１分ｎ＋１ｎｎｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝（２－１）－（２－１）＝２，３，ｎ＝１经验证ｎ＝１时，ａ＝３≠２１，∴ａ＝且ｎ∈Ｎ；!!!!!!!!５分１ｎ{２ｎ，ｎ≥２２ｎ＋１（２）证明：若ｂｎ＝，Ｔｎ是｛ｂｎ｝的前ｎ项和，（ａｎ－１）（ａｎ＋１－１）２４ｎ＝１时，Ｔ＝＜，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分１３３２ｎ＋１１１ｎ≥２时，ｂ＝＝２（－），!!!!!!!!９分ｎ（２ｎ－１）（２ｎ＋１－１）２ｎ－１２ｎ＋１－１２１１１１１１４２４Ｔ＝＋２（－＋＋＋…＋－）＝－＜ｎ３２２－１２３－１２３－１２４－１２ｎ－１２ｎ＋１－１３２ｎ＋１－１３４∴Ｔ＜．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分ｎ３１８．解：（１）证明：取ＢＰ中点Ｍ，连接ＡＭ，ＣＭ，∵ＡＤ＝２ＡＢ，Ｐ为ＡＤ的中点，∴ＡＢ＝ＡＰ，∴ＡＭ⊥ＢＰ，∵△ＢＣＰ为等边三角形，∴ＣＭ⊥ＢＰ，∵ＡＭ∩ＣＭ＝Ｍ，ＡＭ，ＣＭ面ＡＣＭ，∴ＢＰ⊥平面ＡＣＭ，∵平面ＡＣＭ∩平面ＡＢＰ＝ＡＭ，∴直线ＡＣ在平面ＡＢＰ的射影在直线ＡＭ上，π∴直线ＡＣ与平面ＡＢＥＤ所成角为∠ＣＡＭ，则∠ＣＡＭ＝，４π∵ＡＢ＝ＡＰ＝２，∠ＢＡＤ＝，∴△ＡＢＰ是正三角形，则ＡＭ＝３，ＢＰ＝２，３槡∵△ＢＣＰ为等边三角形，ＢＰ＝２，则ＣＭ＝槡３，∴在△ＡＭＣ中，由ＡＭ＝ＣＭ＝槡３，πππ∠ＣＡＭ＝，得∠ＡＣＭ＝，则∠ＣＭＡ＝，∴ＡＭ⊥ＣＭ，∵ＣＭ⊥ＢＰ，ＡＭ∩ＢＰ＝Ｍ，ＡＭ，４４２ＢＰ平面ＡＢＥＤ，∴ＣＭ⊥平面ＡＢＥＤ，∵ＰＥ平面ＡＢＥＤ，∴ＣＭ⊥ＰＥ，∵ＢＰ＝２，在△ＰＤＥ中，ＰＤ＝高三理科数学答案 第１页（共５页）书２２２２ＥＤ＝２，∠ＰＤＥ＝π，∴ＰＥ＝２３，又ＢＥ＝４，∴ＢＰ＋ＰＥ＝ＢＥ，∴ＰＥ⊥ＢＰ，３槡∵ＣＭ∩ＢＰ＝Ｍ，∴ＰＥ⊥平面ＢＣＰ．!!!!!!!!!!!!!!!!!６分（２）由（１）知ＭＰ，ＭＣ，ＭＡ两两垂直，以Ｍ为坐标原点，ＭＡ所在直线为ｘ轴，ＭＰ所在直线为ｙ轴，ＭＣ所在直线为ｚ轴，建立空间直角坐标系，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分则Ｃ（０，０，槡３），Ｐ（０，１，０），Ａ（槡３，０，０），Ｂ（０，－１，０），→→∵Ｐ是ＡＤ的中点，∴Ｄ（－槡３，２，０），∵ＢＡ＝ＥＤ，∴Ｅ（－２槡３，１，０），→→→∴ＰＣ＝（０，－１，槡３），ＰＥ＝（－２槡３，０，０），ＰＤ＝（－槡３，１，０），设平面ＥＣＰ的法向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），→ｎ·ＰＣ＝－ｙ＋槡３ｚ＝０则→，令ｚ＝１，得ｎ＝（０，槡３，１），!!!!!!!!!９分{ｎ·ＰＥ＝－２槡３ｘ＝０设平面ＰＣＤ的法向量ｍ＝（ａ，ｂ，ｃ），→ｍ·ＰＣ＝－ｂ＋槡３ｃ＝０则→，取ａ＝１，得ｍ＝（１，槡３，１），!!!!!!!!１１分{ｍ·ＰＤ＝－槡３ａ＋ｂ＝０设平面ＥＣＰ与平面ＣＤＰ所成锐二面角的平面角为θ，则平面ＥＣＰ与平面ＣＤＰ所成锐二面角的余弦值为：｜ｍ·ｎ｜４２５ｃｏｓθ＝＝＝槡．!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分｜ｍ｜·｜ｎ｜２槡５５１９．解：（１）令Ｙ表示１０００袋牛肉干中变质牛肉干的数量，由题意有Ｙ～Ｂ（１０００，ｐ），则Ｅ（Ｙ）＝１０００ｐ，故Ｅ（Ｘ）＝（１０００－１０００ｐ）（５０－３０）－１０００ｐ×（３０＋５０×３）＝２００００－２０００００ｐ，１１由７５００＜Ｅ（Ｘ）＜１００００，有７５００＜２００００－２０００００ｐ＜１００００，解得：＜ｐ＜，２０１６１１故当７５００＜Ｅ（Ｘ）＜１００００时，ｐ的取值范围为＜ｐ＜．!!!!!!!６分２０１６（２）对这批牛肉干来说，变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干的销售后产生的利润与变质牛肉干作废物处理后产生的费用是不变的，是否聘请兼职员工来检１查这批牛肉干，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用，当ｐ＝时，由（１）知，２０高三理科数学答案 第２页（共５页）１Ｅ（Ｙ）＝１０００×＝５０，２０设需要赔付给消费者的费用为Ｚ元，有Ｅ（Ｚ）＝５０×３×５０＝７５００，由７５００＞５０００，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分２２０．解：（１）当Ｐ点在ｘ轴上时，Ｐ（２，０），ＰＡ：ｙ＝±槡（ｘ－２），２槡２ｙ＝±（ｘ－２）２１１２２于是得：２（２＋）ｘ－２ｘ＋１＝０，由Δ＝０得ａ＝２，ｘ２ａ２＋ｙ＝１ａ２２ｘ２故椭圆方程为：＋ｙ＝１；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分２（２）设切线为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，设Ｐ（２，ｙ０），Ａ（ｘ１，ｙ１），ｙ＝ｋｘ＋ｍ则（１＋２ｋ２）ｘ２＋４ｋｍｘ＋２ｍ２－２＝０由Δ＝０得ｍ２＝２ｋ２＋１，!{ｘ２＋２ｙ２－２＝０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分－２ｋｍｍ２且ｘ＝，ｙ＝，ｙ＝２ｋ＋ｍ则｜ＰＯ｜＝ｙ＋４，１１＋２ｋ２１１＋２ｋ２０槡０ｙ｜ｙｘ－２ｙ｜直线ＰＯ为：ｙ＝０ｘ点Ａ到直线ＰＯ距离ｄ＝０１１，!!!!!!８分２ｙ２＋４槡０１１１－２ｋｍ２ｍ则Ｓ＝｜ＰＯ｜·ｄ＝｜ｙｘ－２ｙ｜＝（２ｋ＋ｍ）－△ＰＯＡ２２０１１２１＋２ｋ２１＋２ｋ２１＋２ｋ２＋ｋｍ＝ｍ＝｜ｋ＋ｍ｜．!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分１＋２ｋ２２２当ｍ＝槡２ｋ＋１时，Ｓ＝｜ｋ＋槡１＋２ｋ｜．（Ｓ－ｋ）２＝１＋２ｋ２ｋ２＋２Ｓｋ－Ｓ２＋１＝０，２２２因为Δ＝８Ｓ－４≥０Ｓ≥槡，此时ｋ＝－槡．２２２２同理当ｍ＝－２ｋ＋１时，可得Ｓ≥槡，槡２２此时ｋ＝槡．２２所以△ＰＯＡ面积的最小值为槡．!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分２ｓｉｎｘａｘｘ２１．解：（１）由ｆ（ｘ）＝－≥０可得ｅｓｉｎｘ－ａｅπ≥０，即ａｅπ≤ｅｓｉｎｘ，令ｍ（ｘ）＝ｅπｅｘｅｘｓｉｎｘ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分高三理科数学答案 第３页（共５页）ｍ′（ｘ）＝ｅｘｓｉｎｘ＋ｅｘｃｏｓｘ，当ｘ∈（－π，０）时，ｘｘπ令ｍ′（ｘ）＝ｅｓｉｎｘ＋ｅｃｏｓｘ≥０，得－≤ｘ≤０，４ｘｘπｍ′（ｘ）＝ｅｓｉｎｘ＋ｅｃｏｓｘ≤０，得－π≤ｘ≤－４ππ所以ｍ（ｘ）在［－π，－］上为减函数，在［－，０］上为增函数，４４πππ２π２故ｍ（ｘ）＝ｍ（－）＝－槡ｅ－４，ａｅ≤－槡ｅ－４，ｍｉｎ４２２２５π综上ａ≤－槡ｅ－４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分２１－ｘｘ－（２）由ｆ（ｘ）＝－，得ｓｉｎｘ－ｅπ＋１＝０，等价于ｅπ（ｓｉｎｘ＋１）＝１ｅπ令ｇ（ｘ）＝ｅｘ－π（ｓｉｎｘ＋１）－１，ｇ′（ｘ）＝ｅｘ－π（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋１）!!!!!!!７分３在［（２ｋ＋１）π，（２ｋ＋）π］（ｋ∈Ｎ）ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减，２３在［（２ｋ＋）π，（２ｋ＋２）π］（ｋ∈Ｎ）ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增２注意到ｇ（（２ｋ＋１）π）＝ｅ２ｋπ－１＞０，ｇ（（２ｋ＋２）π）＝ｅπ＋２ｋπ－１＞０，３ｇ［（２ｋ＋）π］＝－１＜０２３３∴ｇ（ｘ）在（（２ｋ＋１）π，（２ｋ＋）π）和（（２ｋ＋）π，（２ｋ＋２）π）上各有一个零点２２１ｘ，ｘ，ｇ（ｘ）共有两个零点．故方程ｆ（ｘ）＝－有两个实数根．!!!!!!!１２分１２ｅπｃｏｓθ２２２２２．解：（１）曲线Ｔ的极坐标方程ρ＝变形为ρｓｉｎθ＝ρｃｏｓθｙ＝ｘ（ｙ≠０），ｓｉｎ２θｘ＝１＋ｔｃｏｓαｘ＝１－ｔｓｉｎαｌ：（ｔ为参数），ｌ：（ｔ为参数）．!!!!!!!５分１{ｙ＝ｔｓｉｎα２{ｙ＝ｔｃｏｓαｘ＝１＋ｔｃｏｓα（２）将ｌ：（ｔ为参数），代入ｙ２＝ｘ，得ｔ２ｓｉｎ２α－ｔｃｏｓα－１＝０，１{ｙ＝ｔｓｉｎαｔＡ＋ｔＢｃｏｓα－ｓｉｎα则ｔ＝＝，同理ｔ＝!!!!!!!!!!!!!!!７分Ｍ２２ｓｉｎ２αＮ２ｃｏｓ２α２２２２１ｃｏｓαｓｉｎα１ｃｏｓαｓｉｎα｜ＭＮ｜＝槡｜ＦＭ｜＋｜ＦＮ｜＝４＋４≥２２·２２槡ｓｉｎαｃｏｓα２槡ｓｉｎαｃｏｓα１２１１＝＝＝≥１，２槡ｓｉｎαｃｏｓα槡２ｓｉｎαｃｏｓα槡ｓｉｎ２απ当α＝时取得等号，且此时满足方程的判别式均大于零。故｜ＭＮ｜的最小值为１４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分高三理科数学答案 第４页（共５页）３３ｘ－１，ｘ＞２２３．解：（１）ｆ（ｘ）＝｜ｘ＋２｜＋｜２ｘ－３｜＝３．!!!!!!!２分５－ｘ，－２≤ｘ≤２－３ｘ＋１，ｘ＜－２３ｘ－１＞６５－ｘ＞６－３ｘ＋１＞６，７即３，或３，或解得或ｘ＞或ｘ＜－１，所以原不ｘ＜－２≤ｘ≤{ｘ＜－２，３{２{２７等式的解集为｛ｘ｜ｘ＞或ｘ＜－１｝．!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分３３７（２）证明：由（１）知当ｘ＝时，ｆ（ｘ）有最小值，２２２７２ｂ７１３２１９６所以ｍ＝，ａ＋＝．因为，（＋）＝＋＋，２９２ａｂａ２ｂ２ａｂ２２２１９６２２ｂ１９６２ｂ６ａ２ｂ９ａ所以＋＋＝（ａ＋）（＋＋）＝（２＋＋＋＋），!!ａ２ｂ２ａｂ７９ａ２ｂ２ａｂ７９ａ２ｂ３ａｂ２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分９ａ２ｂ２６ａ２ｂ因为＋≥２，＋≥４，当且仅当ｂ＝３ａ时取等号，ｂ２９ａ２ｂ３ａ１３２１６所以（＋）≥，当且仅当ｂ＝３ａ时取等号，ａｂ７１３４７７３７所以＋≥槡，当且仅当ａ＝槡，ｂ＝槡时取等号．!!!!!!!!１０分ａｂ７２２３３３７方法二．ｆ（ｘ）＝｜ｘ＋２｜＋｜ｘ－｜＋｜ｘ－｜≥｜２＋｜＋０＝２２２２２３７２ｂ７仅当ｘ＝时等号成立，所以ｍ＝，ａ＋＝．!!!!!!!!!!!７分２２９２１３１１２４７∴＋＝＋≥＝槡ａｂａｂ２７２ｂａ＋３９槡２ｂ７ａ＝ａ＝槡３２当且仅当２时等号成立．!!!!!!!!!!!１０分２ｂ７３７{ａ＋＝ｂ＝槡９２２高三理科数学答案 第５页（共５页）