2023年葫芦岛市普通高中高三年级第一次模拟考试数学第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．是虚数单位，则的值为（）A．13 B． C．5 D．3．若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（）A． B． C． D．4．已知，为平面向量，，，则，夹角的余弦值等于（）A． B． C． D．5．芙萨克·牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，著有《自燃哲学的数学原理》、《光学》为太昍中心说提供了强有力的理论支持，推动了科学革命．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（単位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为20℃的情况下，一桶咖啡由100℃降低到60℃需要20min，则k的值为（）A． B． C． D．6．的展开式中的系数为（）A．－80 B．－100 C．100 D．807．定义在区间上的函数的图象与的图各的交点为，过点作P1P⊥x轴于点P1，直线P1P与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为（）A． B． C． D．8．已知函数，在，且上有个交点，，…，则（）A．0 B． C．2m D．2017二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）9．已知a，b为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，10．一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．结合图1图2，以下四个说法正确的是（）A．在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加：B．在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km；C．大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；D．在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹11．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（）A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015B．任取一个零件是次品的概率为0.0525C．如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为D．如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为12．设定义在R上的函数f（x），g（x）满足：①g（0）=1：②对任意实数x1，x2满足；③存在大于零的常数m，使得f（m）=1，且当x∈（0，m）时，f（x）>0，g（x）>0．则（）A．g（m）=f（0）=0 B．当x∈（0，m）时，f（x）+g（x）>1C．函数f（x）g（x）在R上没有最值 D．任取x∈R，f（m－x）=g（x）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．两空题，第一空2分，第二空3分）13．请估计函数零点所在的一个区间______．14．某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，a的值为______；考试成绩的中位数为______．15．设为直线上的动点，过点作图的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为______．16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）设等差数列的前项和为，已知，，等比数列满足，．（1）求：（2）设，求证：．18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．sin（A－B）=sin（A+B）－sin（A+C），角A的角平分线交BC于点D，且b=3，c=6．（1）求角A的大小；（2）求线段AD的长．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，，AB⊥AD，PA=PD，AB⊥PA，AD=4，AB=BC=2．E为PD的中点．（1）求证：平面PAB；（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：点D到平面PAB的距离．条件①：四棱锥VP－ABCD=4；条件②：直线PB与平面ABCD所成的角正弦值为．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，，直线PA与直线PB的斜吏乘积为，点的轨迹为．（1）求的方程；（2）分别过，做两条斜率存在的直线分别交于C，D两点和E，F两点，且，求直线CD的斜轪与直线EF的斜率之积．21．（本小题满分12分）新冠疫情过后，国内相继爆发了甲型H1N1流感病毒（甲流）和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查．据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半．（1）若根据卡方检验，有超过99．5%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至少有多少人？（2）研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均互相独立，且两种药物的每次试验费用相同．请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？附：（其中n=a+b+c+d）0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82822．（本小题满分12分）已知函数，．（1），，求的最小值；（2）设①证明：；②若方程有两个不同的实数解，，证明：．2023年葫芦岛市普通高中高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题1－4：CBAC5－8：ABCC二、多项选择题9．ABD10．AD11．ABC12．ABD三、填空题13．答案示例：（3，4），说明：零点约为3.40，只要是含有零点的区间均可．14．0.03515．16．4四、解答题17．（本小题满分10分）（1）由题意得，解得，，从而，（2）由题意得，，，，，所以又，令，有两式相减得，整理得．18．（本小题满分12分）（1）在中，由已知，可得：则有：，即又，即有，而，所以．（2）在中，由（1）知，因为为角的角平分线，则有，由得：解得，所以线段的长为．19．（本小题满分12分）（1）设为中点，连接、，因为为的中点，所以是三角形的中位线，所以且又因为，，．所以所以，．所以四边形是平行四边形所以，又平面，平面所以平面；（2）过作于，连接．因为，又因为，且，所以平面．又平面，所以平面平面．因为，所以为中点，又因为平面平面，所以平面．又平面，所以如图建立空间直角坐标系．设．由题意得，A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），D（0，－2，0），P（0，0，a）．所以，，．设平面的法向量为，则，令z=2，则y=a．所以．选择条件①，解得，设到平面的距离为，所以选择条件②连接，则是在平面内的射影，则直线与平面所成的角为，在Rt中，，在中，，，所以，所以，设到平面的距离为，所以，20．（本小题满分12分）（1）设，依题意则有整理得点的轨迹为为，（2）设直线为：①设直线为：②将①与曲线联立得：，，设，，，将②与曲线联立得：，，设，，，，所以21．（本小题满分12分）（1）设感染诺如病毒的患者为人，则感染甲流的患者为人，感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为，由题意必有，而，所以，又因为为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有27人．（2）设抗病毒口服液治疗有效的概率为，每次试验花费为，则奥司他韦治疗有效的概率为，故，设抗病毒口服液试验总花费为X，X的可能取值为4m，5m，6m，，，故设奥司他韦试验总花费为Y，Y的可能取值为3m，6m，，，所以，由所以，所以，所以奥司他韦试试验平均花费较低．22．（本小题满分12分）（1）令，在单调递增，则，即所以，在单调递增，所以h（x）的最小值为0（2）①要证明，可令，即证：于是易知，当时，当时，当时，，当时所以在单调递减，在单调递增所以，则②函数，，所以在上单调递减，在上单调递增不妨设，，，由（1）知，，当且仅当时取等号，又求导易证，当且仅当时取等号，设直线与直线，交点的横坐标分别为，．则①由对数平均不等式得，②综合①②可知：．