保密★启用前2023新高考名师一模模拟卷（1）数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(共40分)1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的解法求集合，再根据集合的交集运算求解.【详解】∵，∴故选：A.2．已知复数在复平面上对应的点Z在第二象限，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，根据第二象限坐标的特点可得即可得.故选：D.3．设x，，则“且”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依据“且”与“”之间的逻辑关系进行推导即可解决.【详解】由且，可得当，时，满足，但不满足且则“且”是“”的充分不必要条件故选：A4．若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥侧面积和体积公式求解即可.【详解】设圆锥的高为，底面半径为，则，解得.所以.则圆锥的体积.故选：B5．已知，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用诱导公式和二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因，所以.故选：A6．如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式及离心率公式求出a，b即可作答.【详解】双曲线的渐近线方程为：，设双曲线下焦点为，则有，依题意，，离心率，解得，所以该双曲线的标准方程为.故选：D7．第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（    ）．A．42种 B．63种 C．96种 D．126种【答案】D【分析】此题属于分组分配问题，现将3人分成两组，然后再分配可得.【详解】先将3人分成两组，共种，再在7个大项种选择2个项目安排这两组，共种，所以有且只有两人被分到同一大项的情况共有种.故选：D．8．已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（    ）A．36 B．35 C．34 D．33【答案】B【分析】先由已知条件判断出的取值范围，即可判断使得的最小正数n的数值.【详解】由得：，.，又，，，，则使得的最小正数n为35.故选：B.二、多选题(共20分)9．给出下列说法，其中正确的是（    ）A．若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一B．已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多D．经验回归直线恒过样本点的中心，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好【答案】AC【分析】依据方差定义及众数定义去判断选项A；求得第40百分位数去判断选项B；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C；依据回归直线拟合效果判断标准去判断选项D.【详解】选项A：由方差可得，即此组数据众数唯一.判断正确；选项B：数据2，3，5，7，8，9，9，11.共有8个数，由可知，该组数据的第40百分位数为第4个数为7.判断错误；选项C：依据中位数定义和平均数定义，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多.判断正确；选项D：回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，不是看回归直线上的样本点多，拟合效果越好.判断错误.故选：AC10．已知向量，将绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到的位置，则（    ）.A． B．C． D．点坐标为【答案】ABC【分析】根据向量的夹角判断A，再由全等三角形可判断B，根据向量的数量积的定义判断C，根据向量的模相等判断D.【详解】因为绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到，所以与的夹角为，故，A选项正确；由题意知，,所以，即，故B正确；因为,,所以由数量积的定义知，故C正确；若点坐标为，则，故D不正确.故选：ABC11．若圆：与圆：的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有（    ）A．B．直线AB的方程为C．AB中点的轨迹方程为D．圆与圆公共部分的面积为【答案】BC【分析】两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得，即可判断AB选项；然后由圆的性质可知直线垂直平分线段,进而可得到直线的距离即为AB中点与点的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C选项；对应扇形的面积减去三角形的面积乘以2即可求出圆与圆公共部分的面积，即可判断D选项.【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为，即，因为圆的圆心为，半径为1，且公共弦AB的长为1，则到直线的距离为，所以，解得，所以直线AB的方程为，故A错误，B正确；由圆的性质可知直线垂直平分线段,所以到直线的距离即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，因此，即，故C正确；因为，所以，即圆中弧所对的圆心角为，所以扇形的面积为，三角形的面积为，所以圆与圆公共部分的面积为，故D错误.故选：BC.【点睛】圆的弦长的常用求法：（1）几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.12．对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果”．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知，定义的值为的小数点后第n个位置上的数字，如，，规定．记，，集合为函数的值域，则以下结论正确的有（    ）A． B．C．对 D．对中至少有两个元素【答案】AC【分析】对于A：根据定义，直接求出，即可判断；对于B：根据定义，直接求出的值域为，即可判断；对于C：求出，即可判断；对于D：求出k=10时，的值域为，即可否定结论.【详解】对于A：由题意，集合为函数的值域，所以集合为函数的值域.所以由可得：，，，，，，，，，，故.故A正确.对于B：由题意，集合为函数的值域，所以集合为函数的值域.规定．记，，所以，令，，则，因为，所以所以的值域为.故B错误.对于C：因为，所以，所以对.故C正确；对于D：由C的推导可知：.因为，，所以，令，，则，因为，所以，，即k=10时，的值域为.故D错误.故选：AC【点睛】数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.第II卷（非选择题）三、填空题(共20分)13．的展开式中的系数是______．（用数字作答）【答案】【分析】由二项式定理可得的展开式的通项公式，由通项公式结合条件可得答案.【详解】的展开式的通项公式为，令可得所以的展开式中的系数是故答案为：14．已知等比数列，其前n项和为．若，，则______．【答案】或【分析】设等比数列的公比为，进而得，再解方程得或，进而得答案.【详解】解：设等比数列的公比为，因为，，所以，即，所以，解得或，所以当时，；当时，所以，或.故答案为：或15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线l与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A、B，，四边形的周长p与面积S满足，则该双曲线的离心率为______．【答案】【分析】由双曲线的定义及三角形周长为p,可得，，再由及可得，在中利用余弦定理可建立关系式，再由消去p即可得出离心率.【详解】由题知，，四边形的是平行四边形，，联立解得，，，，，又，，即.由余弦定理可得，化简得，.故答案为：16．已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，______．【答案】        44【分析】根据题意计算的值，从而可求出其对称中心，由等差数列的性质结合，可得，再利用等差数的性质和的对称性可求出的值【详解】因为，所以，所以的图象的对称中心为，即为，因为等差数列中，，所以，得，因为的图象的对称中心为，所以，，，，，因为，所以，故答案为：，44四、解答题(共70分)17．(本题10分)已知是数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求得.（2）利用裂项求和法求得.(1)当时，由，得，则.当时，有，符合上式.综上，.(2)由（1）得，，则.18．(本题12分)在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知______.(1)求A；(2)若，，求a.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2).【分析】（1）若选①，先用正弦定理进行边化角，进而结合辅助角公式求得答案；若选②，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而通过辅助角公式求得答案；若选③，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而求得答案；（2）先通过三角形的面积公式求出c，进而根据余弦定理求得答案.（1）若选①，由正弦定理可得，因为，所以，则，而，于是.若选②，由题意，，则，而，于是.若选③，由题意，，因为，所以，则.（2）由题意，，由余弦定理.19．(本题12分)新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．(1)若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；(2)记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．①当，时，求；②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：）【答案】(1)(2)①②【分析】（1）利用每个人的血样检验结果的独立性解题.（2）分别计算出总检验次数为1与时的概率，即可列出分布列，进而求得；如果用方案乙能减少总检验次数，则，化简后即可求解.（1）对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则（2）①当，时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为，总共需要检验的次数为6次；所以的分布列为：16P所以．②当采用混合检验的方案时，根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足，即，化简得，所以当P满足，用混合检验的方案能减少检验次数．20．(本题12分)如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为矩形，，E为CD的中点，且△VBC为等边三角形．(1)若VB⊥AE，求证：AE⊥VE；(2)若二面角A－BC－V的大小为，求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明线面垂直，再证明线线垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．(1)因为E为CD的中点，所以，所以△ADE为等腰直角三角形，所以．同理，．所以AE⊥BE．又因为VB⊥AE，且，面VBE，面VBE，所以AE⊥面VB