2023年高考必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷07一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意可知，集合，，∴，故选C。2．在复平面内，复数对应的点位于（）。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】A【解析】，则在复平面内对应的点为，在第一象限，故选A。3．已知函数，，，，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可知是定义在上的单调递增函数，又，，，∴，故选B。4．移効支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了位学生，共中使用过移功支付或共享单车的学生共位，使用过移动支付的学生共有位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如图，∴该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值，故选C。5．某中学话剧社的个演员站成一排照相，高一、高二和高三年级均有个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】分两类，第一类：高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有种不同排法，把高二年级两个同学排入个空位中的个（插空法）有种不同方法，第一类有种站法，第二类：高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有种站法，由分类加法计数原理知，共有种站法，故选C。6．已知椭圆：与双曲线：共焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵与共焦点，∴与有共同的，又中、，，中、，，则，∴，椭圆的离心率，又，∴，∴，∴，即，故选D。7．在等差数列中，、，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】数列为等差数列，公差，则，，，则，∴数列（）是递减数列，最大项为，∴，，又是正整数，∴的最小值为，故选C。8．已知定义在上的函数，若函数（）恰有个零点，则实数的取值范围是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】当时，，令，解得、、（舍），∴有个零点，不符合题意，当时，，当时，，无零点，当时，设，∵，，则在上有个零点，又，∴在内有个零点，若使有个零点，则在上有个不等实数根，设，∵，∴只需满足，解得，当时，，当时，令，得，在上有个零点，当时，令，得，，∴在上有个零点，当时，令，∵，，，∴在上有个零点，又，∴在上有个零点，∴时有个零点，综上所述，若恰有个零点，则或，故选D。二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．已知，其中（）且（），则下列结论一定正确的是（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】A选项，，从而得到，∴，，即，，∴，对，B选项，，错，C选项，∵，当为偶数时，，错，D选项，又，对，故选AD。最简单方法：赋值：令、，则，则、、、，令、，则，则、、、，则AD一定对，CD可对可错，故选AD。10．下列叙述不正确的是（）。A、的解是B、“”是“”的充要条件C、已知，则“”是“”的充分不必要条件D、函数的最小值是【答案】ABCD【解析】A选项，显然当时，恒成立，于是的解是，错，B选项，令，当时，恒有成立，当时，要求，解得，∴“”是“”的充要条件不成立，错，C选项，由题意，对不等式去绝对值得到，解得，当时，对“”有“”不一定成立，如，反之成立，于是“”是“”的必要不充分条件，错，D选项，由题意，变式得，当且仅当，即时等号成立，这显然不可能，错，故选ABCD。11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）。现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（）。A、的周长为B、的三个内角、、成等差数列C、的外接圆半径为D、的中线的长为【答案】AB【解析】A选项，设的内角、、所对的边分别为、、，∵，∴由正弦定理可得，设、、（），∵，∴，解得，则、、，故的周长为，对，B选项，∵，∴，，∴的三个内角、、成等差数列，对，C选项，∵，∴，由正弦定理得，，错，D选项，由余弦定理得，在中、，由余弦定理得，解得，错，故选AB。12．若直线与曲线相交于不同两点、，曲线在、点处切线交于点，则（）。A、B、C、D、存在，使得【答案】ABC【解析】A选项，当时，直线与曲线没有两个不同交点，∴，如图1所示，当直线与曲线相切时，设切点为，则，∴切线方程为，代入点解得，此时，∴直线与曲线相切，∴当时直线与曲线有两个不同的交点，当时，直线与曲线没有交点，对，B选项，由已知得、，不妨设，则，又在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，两式相减得，将、代入得：，∵，∴，即，对，C选项：要证，即证，即证，∵，∴需证，令，则，令，则点、是与的两个交点，令（），∴，令（），则，∴当时，，单调递减，而，，∴，∴时，，∴单调递减，∴，即，又，∴，而，∴当时，，单调递增，又，，∴，即，对，D选项，设直线交轴于，直线交轴于点，作轴于点，若，则，即，∴，化简得，即，∴，即，令，又，∴，而，∴方程无解，∴不存在，使得，错，故选ABC。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，向量满足，且，则与的夹角为。【答案】【解析】∵，，∴，又，∴，又，故向量与的夹角为。14．的展开式中的系数为，则。【答案】【解析】其通项公式为，令，则，则，解得。15．在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是。引理：正三棱锥的对棱相互垂直，证明如下：取、的中点、，连接、，，连接，则是底面正的中心，∴平面，∴，∵、，∴，∴平面，∴，同理：、，即正三棱锥的对棱相互垂直。【答案】【解析】∵、，∴，∵，∴平面，∴，，∵、，∴平面，∴，故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，∴，即，∴正三棱锥外接球的表面积是。16．在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：①曲线关于坐标原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线上存在横坐标大于的点。其中，所有正确结论的序号是。【答案】②③④【解析】∵动点到两坐标轴的距离之和等于它到点的距离，∴，∴时或时，函数图像如图所示，曲线关于直线对称，①错误，②正确，曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于，③正确，由与联立可得，∴曲线上的点到原点距离的最小值为，④正确，故选②③④。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在①；②；③的面积。这三个条件中任选两个，补充在下面问题中。（请将选择的序号填写在答题卡相应的位置上），然后解答补充完整的题目。在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且，，求。注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。【解析】方案一：选条件①②，在中，，∵，，∴，1分由正弦定理得，2分∵，∴，4分∵，∴，，5分∵，，∴，∴，7分∴，∵，∴，9分在中，由正弦定理得。10分方案二：选条件①③，在中，，∵，，∴，∵，∴，2分在中，由正弦定理得，4分∴，即，5分∵，∴，，∴，∴，7分又，∴，∴，∴，9分在中，由正弦定理得。10分方案三：选条件②③，在中，，∵，，∴，1分由正弦定理得，2分∵，∴，4分∵，∴，，5分∵，∴，6分在中，由余弦定理得，∴，8分联立，解得或。10分18．（本小题满分12分）在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题。”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了高中生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论。现从该班随机抽取名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表：编号成绩物理（）数学（）（1）求数学成绩对物理成绩的线性回归方程（精确到）。若某位学生的物理成绩为分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的这五位学生中随机选出位参加一项知识竞赛，记其中数学成绩高于分的学生人数为，求的分布列和数学期望。参考公式：，。参考数据：，。【答案】（1）由表中数据可知、，2分∴，，4分∴，5分∴当时，，即某位学生的物理成绩为分，预测他的数学成绩为分；6分（2）抽取的这五位学生中，数学成绩高于分的有人，不高于分的有人，则可取、、，7分、、，10分∴的分布列为：∴。12分19．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点。（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值。【解析】（1）证明：在直三棱柱中，，，1分又∵，∴平面，2分又∵平面，∴，3分又∵在矩形中，，，∴，∴，4分又，∴平面；5分（2）以为原点，、、为、、轴建立直角坐标系，则、、、，则，6分设平面的法向量为，又，，则，得，令，则、，则，9分设与的夹角为，则，10分∴直线与平面所成角的正弦值为，则与平面所成角的余弦值为，∴直线与平面所成角的正切值为。12分20．（本小题满分12分）已知数列满足，（）。（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，求证：。【解析】（1）当时，，1分∴当时，，，2分上式-下式得：，∴，3分验证，当时不符合，∴；5分（2）证明：当时，，∴，7分当时，，∴，11分综上所述，当时，。12分21．（本小题满分12分）已知椭圆：（），椭圆的长轴长为，离心率为，若直线：与椭圆相交于、两点，且（为坐标原点）。（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：的面积为定值，并求此定值。【解析】（1）由题意可得，，，解得：，，2分∴椭圆的标准方程为：；3分（2）由（1）得：设、，∵，即，5分联立直线与圆的方程：，整理得，，，，7分∴，∴，8分，10分到直线的距离，∴，∴的面积为定值，且此定值为。12分22．（本小题满分12分）已知函数（）。（1）当时，求函数的极值点；（2）当时，若（）恒成立，试求的最大值；（3）在（2）的条件下，当取最大值时，设（），并设函数有两个零点、，求证：。【解析】（1）解：当时，，定义域为，∴，令，解得，当时，，∴在上单调递增，当时，，∴在上单调递减，3分∴在处取得极大值，无极小值，即有唯一的极大值点，无极小值点；4分（2）解：当时，若（）恒成立，则（）恒成立，∴恒成立，令，其定义域为，，5分当时，恒成立，则在上单调递增，不存在最小值，舍去，6分当时，令，解得，当时，，∴在上单调递减，当时，，∴在上单调递增，7分∴在处取得极小值，也是最小值，，可取，∴，∴，∴，∴的最大值为；8分（3）证明：由（2）可知，，其定义域为，∵、为函数的两个零点，不妨设，∴、，∴、，∴，，9分原不等式等价于，即，则，令，则，∴等价于，即，11分设，其定义域为，∴，∴在是递增函数，∴，即不等式成立，∴所证不等式成立。12分