北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2023．3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A. B. C. D.3.设，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.84.已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.5.已知函数，则“”是“”（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.或27.在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.8.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A.的一个周期为 B.的最大值为C.的图象关于直线对称 D.在区间上有3个零点9.如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（）A.5 B.10 C.13 D.2610.已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（）A.14 B.15 C.16 D.17第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若复数，则________.12.函数的值域为________．13.经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．14.中，，，．（1）若，则________；（2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．15.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论：①若且，则；②若且，则；③若，则红方获得战斗演习胜利；④若，则红方获得战斗演习胜利．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．（1）求证：平面BDE；（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；（3）求点D到平面ABE的距离．17.设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．（1）求函数的解析式；（2）求在区间上最大值和最小值．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若对恒成立，求a的取值范围；（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．20.已知椭圆经过点．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．21.已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意，都有，则称数列A是连续等项数列．（1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；（2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；（3）若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．