四川省阆中中学校2023年春高2020级4月月考数学（理科）试题（满分：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则复数的实部与虚部之和是（）A．－6 B．－4 C．4 D．62．已知集合，，且，则（）A． B． C． D．3．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.阆中是中国历史文化名城，世界优秀旅游城市目的地，每年都会在这里举行“阆马”比赛，选手们沿着美丽的嘉陵江比赛，在阆苑古城中穿越，领略千年古城的魅力。小王为参加“阆马”比赛，每天坚持健身运动。依据小王2022年1月至2022年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制成拆线图，根据该拆线图，下列结论正确的是（）A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程的极差小于15C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更大5.函数在区间上的图象大致为（）6.已知为正方形，其内切圆与各边分别切于,连接现向正方形内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A:豆子落在圆内；事件B:豆子落在四边形外，则（）A. B. C. D.7.在中，，且，，动点M在线段AB上移动，则的最小值为（）A． B． C． D．8．下面关于函数的叙述中，正确的是（）①的最小正周期为 ②的对称中心为③的单调增区间为 ④的对称轴为A．①③B．②③④C．②④D．①③④9.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（）10.已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，若则（）11.已知函数在区间上单调，且满足若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为（）12.设，，，则()A. B. C. D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则14．电影《中国乒乓之绝地反击》讲述了1992年至1995年期间，戴敏佳从国外回来担任主帅决心有一番作为，龚枫、白民和、黄昭、侯卓翔、董帅五名运动员在戴敏佳的带领下，在天津世锦赛绝地反击的故事。影片中主人公的奋斗历程和顽强拼搏、为国争光的精神激励我们奋勇前行！该影片于2023年1月14日正式上映．在《中国乒乓之绝地反击》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院要求每个小孩要有家长相邻陪坐，则不同的坐法共有__________种．15.如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积______.16.已知双曲线的左、右焦点分别为的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点．若，则C的离心率为__________．三､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题（共60分）17.已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”，“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当阅读到这些话的时候，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某地区普通高中学校学生的阅读时间，从该地区随机抽取了名普通高中学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有学生中随机抽取名学生，用表示这学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中当最大时，写出的值.19.如图甲所示的正方形中，对角线分别交于点，将正方形沿折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱（1）若点在棱上，且，证明：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.20.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆交于M，N两点，M在N的左侧．（1）若，求l的斜率；（2）记直线的斜率分别为，证明：为定值．21.已知函数（自然对数的底数）在点处的切线方程为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）试判断函数在区间内零点的个数？说明你的理由.（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）若，在极坐标系中直线经过点，求的值；（Ⅱ）若，直线与曲线交于、两点，求的最小值.23.已知函数（1）求函数的最小值；（2）若为正实数，且，求的最小值.四川省阆中中学校2023年春高2020级4月月考数学（理科）试题参考答案一、选择题题号123456789101112答案DCBCACBDAABA1.因为．所以复数z的实部与虚部分别是4和2，故复数z的实部与虚部之和是．故选：D2.由得所以集合因为所以解得故选：C.3.在中，.必要性成立；反之，不能如时，即，即充分性不成立，故可判断是的必要而不充分条件。故选：B4.解:对于A,由折线图的变化趋势可知，月跑步里程不是逐月增加的，故选项A错误;对于B,由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月为5,最大值出现在10月为25,极差为20,大于15,故选项B错误;对于C,月跑步里程从小到大排列为:2月，8月，3月，4月，1月,5月，7月,6月，11月，9月，10月，则5月对应的里程为中位数，故C正确;对于D,由折线图的变化趋势可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，所以1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月的月跑步里程的方差更小，故选项D错误.故选:C.5.对于函数，∵故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；又∵，且，故，C错误；故选：A.6.由题意，设正方形的边长为，则圆的半径为，面积为，正方形的边长为，面积为；所以所求的概率为故选：C.7.以为原点，为轴建系，所以，所以，所以最小值为.故选：B8.，①,函数的最小正周期，①正确；的定义域关于原点对称且为偶函数，的对称轴为②错误，④正确；当，即时，单调递增，③正确。故选：D9.依题意，设由得为的中点且则易得直线的垂线的方程为令得故由抛物线定义知，故，故选：A.10.由为奇函数可得：，即令，则（即关于点对称）；由得的图象关于直线对称，所以函数的周期.所以，即，联立解得故.所以.故选：A.11.在区间上单调,的对称中心为且，即,即，,又的对称中心为,在区间上恰有个零点，相邻两个零点之间的距离为，即五个零点之间即，六个零点之间即，只需即可，即，又，,故选：B.12.因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意，故选：A.二、填空题：13.14.15.16.13.由可得，故.14.根据题意，将两名家长、孩子全排列，有种排法，其中两个孩子相邻且在两端的情况有种，则每个小孩子要有家长相邻陪坐的排法有24-8=16种，故答案为:1615.设球O与上底面、下底面分别切于点，与面，面分别切于点，作出其截面如图所示，则，，于是，过点M作于点H，则，由勾股定理可得︰,所以，所以该球的表面积，故答案为：16.的渐近线为：，焦点，∵渐近线与圆在第一象限的交点为，联立可得，所以N是的中点，，因为N在双曲线上，,化简得：所以离心率为，故答案为：三、解答题：17.解：由条件知故…………1分设数列的公差为，则因为成等比数列，所以…………2分即解得…………4分所以…………6分（2）由（1）知所以＝＝…………9分故＝＝…………12分21.解：（Ⅰ）的定义域为.，..……2分∵在点处的切线方程为，切线的斜率为.∴得∴，.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.∴（为自然对数的底数）.在区间内有两个零点.理由如下：……7分∵总成立，∴在区间内零点的个数等价于在区间内零点的个数.……8分∵，.又∵，由，得.当时，得，得，即.在上单调递减.当时，得，得，即.在上单调递增.∴在处取得极小值，也是最小值.……10分.综上所述，在区间和区间内各有唯一零点，即在区间内有两个零点.∴函数在区间内有两个零点.……12分22.解：（Ⅰ）设点的直角坐标为.因为，点的极坐标为.∴，.……2分∴当时，得解之，得∴.……5分（Ⅱ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为.……6分∴曲线是以为圆心，半径的圆.当时，若，化直线的参数方程为普通方程，直线过定点.若，直线的普通方程为，直线也过点.∴直线恒过定点.∵.∴点在圆内.……8分∴当为的中点时最小.这时，，.∴.……10分23.解：（1）结合图象知函数……5分（2）由已知得当时，则由得：即：则由柯西不等式：所以当且仅当时等号成立.所以的最小值为……10分