2023年重庆一中高2023届5月月考数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ADCACBAC【解析】1．故选A．2．故选D．3．对于A，空间中垂直于同一条直线的两条直线可以是平行、相交或异面，故A错误；对于B，垂直于同一个平面的两个平面可以是平行、相交，故B错误；对于C，垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故C正确；对于D，垂直于同一条直线的两个平面平行，故D错误，故选C．4．由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，易知圆心在直线上，圆的半径为3，设圆心为，则，又，则故选A．5．，因为是的极值点，所以则，令，解得或，则当或时，，单减，当时，，单增，故的极大值为，故选C．6．故选B．7．因为，则，所以，即，于是有，所以，因为，所以，于是有，当且仅当时等号成立，所以的最小值，故选A．8．如图，由题知梯形中，，以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设C关于点O的对称点为，由对称性知B，A，三点共线，．设双曲线的焦距，实轴长为2a，设|，则，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，带入①得：整理得：故选C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ABABDACDBD【解析】9．对于A，与B相互独立，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，若B发生时A一定发生，则，故D错误，故选AB．10．对于A选项，又故数列是以4为首项，3为公比的等比数列，故A正确，C错误，D正确；，又因为，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确（也可可推断A，B同时对错），故选ABD．11．对于A选项：，故，故同时大于1或同时大于0小于1，故，故A正确；对于B选项：；故B错误；对于C选项：，当时：（因为故“=”取不到），即；当时：（因为故“=”取不到），即，故C正确；对于D选项，当时，，且易证，故，故D正确，故选ACD．12．易知不是周期函数，故A错误；，故B正确．线段AB的长度为，且随着t的增大，越来越小，所以C错误；如图，若与双曲余弦函数和双曲正弦函数，共有三个交点，则，由双曲余弦函数为偶函数，得，由，得，即，得，得，即，则，故D正确，故选BD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案62【解析】13．记，令，而．14．记向量和的夹角为，将平方得到：，又因为，即．15．在中，由正弦定理得，设，则，又中，由余弦定理得．在中，由余弦定理得，又因为，即：，故．16．由折叠前后不变性知两两垂直，，如图取MN的中点P，连接GP，DP，因为，故为二面角的平面角，在中，过点G作PD的垂线交于点H，则，在中用等面积得：，故：．过点H作ND的垂线交于点E，则，故为二面角的平面角，即为，在，同理，故．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解得，．，解得，，即，．………………………………………………………………（5分）（2）由（1）知道数列和数列的相同项即为数列的所有大于等于3的奇数项，即是：22，24，26，28，210，212，…QUOTE.22?24?26?28?210?212?.，即，………………………………（7分）所以，且必为偶数，所以必为数列中的项．……………………………………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，………………………………………………………………………………………（3分）由全概率公式得………………………（6分）（2）设表示甲、乙两人所在代表队的得分，则，，，，．…………………………………………………………（10分）得分为的分布列用表格表示为：X−3−113所以．…………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1），所以要使有意义，只需，所以，解得，所以函数的定义域为；……………………………（3分）由于，所以，所以函数的值域为．……………………………………………………（6分）（2）由于，所以．………………………………………………（8分），，所以．………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：连接BP，在半圆柱中，因为，，所以，又因为BC是直径，所以，又，所以，又，所以．……………………………………………………………………………（5分）（2）解：依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，连接OP，设，则，……………………………………（6分）所以，设平面的一个法向量为，所以则令，则所以．………………………………………………………………………（8分）设为平面的一个法向量，，所以令，则所以．因为平面PCA与平面所成的锐二面角的平面角为，所以，令，则，平方得，即，又由，可解得或（舍去），………………………………………………（10分）所以，所以平面PCA的一个法向量，且，所以点D到平面PCA的距离．………………………………（12分）法二：点P在平面ABCD的射影为点，因此CH的长度为．因为QUOTE.VD-PCA=VP-CDA13.．（本小题满分12分）解：（1），所以，令，所以，所以，………………………………（2分）且，所以存在使得当且，………………………………（4分）由函数观察可知，所以，因此：时关于的方程有两个不等实根．………………………（5分）（2）不等式在上有解，即等价于存在，使得有解，即存在，使得成立，即得；令，设，当，所以在上单减，在上单增，………………………………（8分）设，当时，时，，所以在上单减，在上单增，综上所知在上单减，在上单增QUOTE.（12，1）单减，在（1，+∞）单增.，所以QUOTEG(x)=x2-xlnx+exx在处取得最小值为，………………………（11分）所以：，所以a的取值范围为．………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）（1）解：设直线OM的斜率为，直线ON的斜率为，由题可知，直线MN的斜率不为0，设，设直线，则由可得，易知，且，则．…………………………………………………………………（3分）（2）设，由题可知，其中，联立方程，同理，因为：．因为为定值，所以上式与无关，所以当，即时，此时，所以，所以椭圆的方程为．………………………………………………………（8分）（3）因为，由（2）可知，当时，，，此时抛物线方程为．………………………………………………………（12分）