秘密★启用前【考试时间：4月6日15：00~17：00】2023年重庆一中高2023届4月月考数学试题卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A.3 B. C. D.2.已知第二象限角的终边与单位圆交于，则（）A. B. C. D.13.下列说法错误的是（）A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变B.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高C.在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大D.线性回归方程对应的直线，至少经过其样本数据点，，…，中的一个点4.林业部门规定：树龄500年以上古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm，则估计该大树属于（）A.一级 B.二级 C.三级 D.不是古树5.已知，是空间中两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列说法错误的是（）A.若，则存在，，使得B.若，则存在，，使得C.若，则存在，使得D.若，则存在，使得6.已知抛物线的焦点为，准线为，直线过且与抛物线交于，两点，与交于点，则（）A.0 B. C. D.或7.已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.8.已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C D.满足方程10.八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、大融城、八一好吃街等．重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备在八一广场上对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（即在的正下方），在广场内（与在同一水平面内）选取，两点，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度的是（）A.，，， B.，，，C.，，， D.，，11.在平行四边形中，对角线与交于点，则下列说法正确是（）A.B.若为的中点，与交于点，则C.若，，则D.若，，，为上的动点且，则的最小值为412.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，在鳖臑中，底面，，作于，于，若，，则（）A.点到平面的距离恒为定值B.鳖臑的外接球的表面积为定值C.三棱锥也一个鳖臑D.当三棱锥的体积最大时，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13.定义在上的奇函数满足，则______．14.已知椭圆左、右焦点分别为，，A为椭圆的左顶点，以为直径的圆与椭圆在第一、二象限的交点分别为，，若直线，的斜率之积为，则椭圆的标准方程为______．15.2023年2月8日中国国民党主席夏立言率团访问大陆期间需安排含甲、乙、丙在内的5位志愿者分配到3个会议室参加服务，要求每位志愿者只能去1个会议室，每个会议室至少需要分配1位志愿者，则甲与乙分配在同一会议室，但甲与丙不在同一会议室的分配方案共有______种（用数字作答）．16.已知函数在区间上存在零点，则的最小值为______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的前项和为，若，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，若的前项和恒成立，求整数的最小值．18.在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且______（填序号）．（1）若，，求的面积；（2）求的取值范围．19.为提升教师的命题能力，重庆市第一中学定期举办教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行4轮比赛，4轮比赛命制的题目均可适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，4轮比赛中，至少获得3次“优秀奖”的教师将进入复赛．为了能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．（1）若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获得“优秀奖”的概率；（2）若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？20.魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点，，，，，均在原正方体的表面上）．（1）由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线为一个椭圆，求此椭圆的离心率；（2）如图c，点在椭圆弧上，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．21.已知双曲线的实轴长为2，两渐近线的夹角为．（1）求双曲线的方程；（2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：“”的充要条件是“”．22.已知函数．（1）若函数的最小值为0，求实数的值；（2）证明：对任意的，，恒成立．秘密★启用前【考试时间：4月6日15：00~17：00】2023年重庆一中高2023届4月月考数学试题卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB【12题答案】【答案】BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．【13题答案】【答案】0【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）（2）2【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）（2）教师甲不能进入复赛【20题答案】【答案】（1）（2）【21题答案】【答案】（1）或（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）（2）证明见解析