一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。x1.已知集合Ax|lnx0,Bx|22,则ABA.(,1)B.(0,1)C.(),1D.(0,1)22log2x,x0,π2.已知函数f()x则f(f())sinx,x≤0,6A.2B.1C.1D.23.若z3i,复数z与z在复平面内对应的点分别为A,B,则ABziA.2B.22C.3D.44.现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为A.0.25升B.0.5升C.1升D.1.5升5.古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线,并研究了它的一些几何性质.比2y2如,双曲线有如下性质:AB,分别为双曲线C:x1(a0,b0)的左、右顶点,a2b2PQ2从C上一点P(异于AB,)向实轴引垂线,垂足为Q,则为常数.若C的AQQB离心率为2,则该常数为31A.B.3C.D.3336.在平行四边形ABCD中,AB4,AD2,AM1AD,AN3AB,CMCN9,24则DMDN15A.1B.1C.D.38数学试卷第1页(共4页)7.正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB2,AA13,M是AD11的中点,点N在棱CC1上,CN2NC1,则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为13210213A.3B.C.D.2338.已知f(x)ln(x21x),若af(ln)2,bf()1,cf(tan)1,则332A.abcB.bacC.cabD.bca二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.某学校高三年级有男生640人,女生360人.为获取该校高三学生的身高信息,采用抽样调查的方法统计样本的指标值(单位:cm),并计算得到男生样本的平均值175,方差为36,女生样本的平均值为165,方差为36,则下列说法正确的是A.若男、女样本量分别为64,36,则总样本的平均值为171.4B.若男、女样本量分别为64,36,则总样本的方差为36C.若男、女的样本量都是50,则总样本的平均值为170D.若男、女的样本量都是50,则总样本的方差为6110.已知O为坐标原点,过抛物线C:y22px(p0)的焦点F(2,0)作斜率为3的弦AB,其中点A在第一象限,则A.AOFBOFB.AOB90C.AB16D.AF3FB311.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下记d为负数),若从盛水筒刚浮出水面时开始计算时间,则PPA.当筒车转动5秒时,盛水桶距离水面4mB.盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点OdC.盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒水面D.盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面数学试卷第2页(共4页)12.在边长为2的菱形ABCD中,BADπ,将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形3A'BCD,使得ABCπ.设E,F分别为棱BC,A'D的中点,则2A.EF3B.直线A'C与EF所成角的余弦值为33C.直线AC与EF的距离为1D.四面体A'BCD的外接球的表面积为4π2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。413.2x(3x2)的展开式中含x3项的系数为.x222214.已知圆C1:(xa)(y1)1与圆C2:xy3交于AB,两点,若直线AB的倾斜角为60,则AB.15.已知sincossin,sincossin2,0,π,则cos.216.已知函数f()x,g()x的定义域均为R,f()x是偶函数,g(x1)1是奇函数,且2023g(x2)f(x)4,f(4)3,则g(1);g()k.k1四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D在线段AC上,BDCD2AD.(1)若ac2,求b;(2)若Bπ,求角A.318.(12分)已知数列an是公差为3的等差数列,数列bn是公比为2的等比数列,且满足a1a3b1b2b3,a2a4b2b4.将数列an与bn的公共项按照由小到大的顺序排列,构成新数列cn.(1)证明:cnb2n;(2)求数列ancn的前n项和Sn.数学试卷第3页(共4页)19.(12分)某微型电子集成系统可安装3个或5个元件,每个元件正常工作的概率均为p(0p1),且各元件是否正常工作相互独立.若有超过一半的元件正常工作,则该系统能稳定工作.(1)若该系统安装了3个元件,且p2,求它稳定工作的概率;3(2)试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定.20.(12分)如图,在三棱台ABCABC中,AC2AC,四棱锥ABCCB的体积为3.11111112(1)求三棱锥AABC111的体积;(2)若△ABC是边长为2的正三角形,平面A1ACC1平面ABC,平面A1ABB1平面ABC,求二面角ABCB11的正弦值.21.(12分)22y2已知椭圆C:xy21的左、右顶点是双曲线C:x1(a0,b0)的顶点,122a2b2C的焦点到C的渐近线的距离为3.直线l:ykxt与C相交于AB,两点,1232OAOB3.(1)求证:8k2t21;,(2)若直线l与C1相交于PQ两点,求PQ的取值范围.22.(12分)已知函数f()xx2axa2,g(x)2ex1ax.(1)若a1,证明:曲线yf()x与曲线yg()x有且仅有一条公切线;(2)当x≥1时,f(x)g(x)≤2ax,求a的取值范围.数学试卷第4页(共4页)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。x1.已知集合Ax|lnx0,Bx|22,则ABA.(,1)B.(0,1)C.(),1D.(0,1)22【答案】Dlog2x,x0,π2.已知函数f()x则f(f())sinx,x≤0,6A.2B.1C.1D.2【答案】C3.若z3i,复数z与z在复平面内对应的点分别为A,B,则ABziA.2B.22C.3D.4【答案】A4.现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为A.0.25升B.0.5升C.1升D.1.5升【答案】B5.古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线,并研究了它的一些几何性质.比2y2如,双曲线有如下性质:AB,分别为双曲线C:x1(a0,b0)的左、右顶点,a2b2PQ2从C上一点P(异于AB,)向实轴引垂线,垂足为Q,则为常数.若C的AQQB离心率为2,则该常数为数学试卷及参考答案第1页(共12页)31A.B.3C.D.333【答案】D6.在平行四边形ABCD中,AB4,AD2,AM1AD,AN3AB,CMCN9,24则DMDN15A.1B.1C.D.38【答案】B7.正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB2,AA13,M是AD11的中点,点N在棱CC1上,CN2NC1,则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为13210213A.3B.C.D.233【答案】C8.已知f(x)ln(x21x),若af(ln)2,bf()1,cf(tan)1,则332A.abcB.bacC.cabD.bca【答案】B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.某学校高三年级有男生640人,女生360人.为获取该校高三学生的身高信息,采用抽样调查的方法统计样本的指标值(单位:cm),并计算得到男生样本的平均值175,方差为36,女生样本的平均值为165,方差为36,则下列说法正确的是A.若男、女样本量分别为64,36,则总样本的平均值为171.4B.若男、女样本量分别为64,36,则总样本的方差为36C.若男、女的样本量都是50,则总样本的平均值为170D.若男、女的样本量都是50,则总样本的方差为61【答案】ACD数学试卷及参考答案第2页(共12页)10.已知O为坐标原点,过抛物线C:y22px(p0)的焦点F(2,0)作斜率为3的弦AB,其中点A在第一象限,则A.AOFBOFB.AOB90C.AB16D.AF3FB3【答案】BD11.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下记d为负数),若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则PA.当筒车转动5秒时,盛水桶距离水面4mOB.盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点dC.盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒水面D.盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面【答案】ABC12.在边长为2的菱形ABCD中,BADπ,将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形3A'BCD,使得ABCπ.设E,F分别为棱BC,A'D的中点,则2A.EF3B.直线A'C与EF所成角的余弦值为33C.直线AC与EF的距离为1D.四面体A'BCD的外接球的表面积为4π2【答案】AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。413.2x(3x2)的展开式中含x3项的系数为.x【答案】3222214.已知圆C1:(xa)(y1)1与圆C2:xy3交于AB,两点,若直线AB的倾斜角为60,则AB.数学试卷及参考答案第3页(共12页)【答案】315.已知sincossin,sincossin2,0,π,则cos.2【答案】4171716.已知函数f()x,g()x的定义域均为R,f()x是偶函数,g(x1)1是奇函数,且2023g(x2)f(x)4,f(4)3,则g(1);g()k.k1【答案】1;2021四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D在线段AC上,BDCD2AD.(1)若ac2,求b;(2)若Bπ,求角A.3【解】(1)因为BDCD2AD,ADCDb,21所以BDCDb,ADb.33在△ABD中,由余弦定理,得2225242ABADBD2ADBDcosADBbbcosADB,①99在△BCD中,由余弦定理,得2228282BCCDBD2CDBDcosBDCbbcosADC.②……2分99因为ADBBDCπ,所以cosADBcosBDC0,由2×①+②,得2AB2BC22b2,即a22c22b2.又因为ac2,所以b6.……5分π(2)设CBD,则ABD,32π因为BDCD,所以ADB2,所以BAD.3ADBD在△ABD中,由正弦
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