高2024届高考诊断考试（一）数学试题（试卷满分：150分120分钟完卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解出集合A，找到A的补集，再求出和B的交集.【详解】因为，所以，又，所以．故选：B．2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的除法法则求复数，再由共轭复数定义求.【详解】∵，∴．故选：D.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.【详解】因为，所以.故选：A.4.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作答.【详解】1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根算筹可表示5和9，因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12个，其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个，所以所求概率为．故选：A5.若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值.【详解】∵数列的前项积，当时，，当时，，，时也适合上式，∴，∴当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且，故的最大值为，最小值为，∴的最大值与最小值之和为2.故选：C.6.如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（）A. B.3 C. D.48【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，设，，（），则，所以，所以，即，所以，，所以，又，所以当时取得最小值为.故选：A7.椭圆的左右焦点为，，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，若四边形的周长等于，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，，可得点为线段的中点，点为线段的中点，再根据四边形的周长结合椭圆的离心率公式即可得解.【详解】因为，所以点为线段的中点，因为，所以，即，所以点为线段的中点，又因点为线段的中点，所以且，且，所以四边形的周长为，又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以，所以，即，故椭圆C的离心率为.故选：C.8.已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，由题意可得关于的不等式在上有且只有个整数解，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】因为偶函数满足，则，即，所以，函数是周期为的周期函数，当时，，令，可得.由可得，由可得.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，因为关于的不等式在上有且只有个整数解，则关于的不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：因为，且，又因为，所以，要使得不等式在上有且只有个整数解，则这五个整数解分别为、、、、，所以，，即，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于作出函数的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知函数，则（）A. B.的最小正周期为C.在上单调递减 D.在上单调递增【答案】ABC【解析】【分析】首先根据三角函数二倍角化简，然后利用整体代入法研究函数图像即可；【详解】选项A正确；所以函数的最小正周期为选项B正确；根据余弦函数图像性质，（余弦函数对应的单调递减区间），函数单调递减，选项C正确；根据余弦函数图像性质，（余弦函数对应单调递增区间），函数不单调，选项D错误；故选：ABC.10.某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：学校人数平均运动时间方差甲校2000103乙校300082记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（）A B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式求解.【详解】依题意，总平均时间为，方差为.故选：BC11.如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（）A.平面平面B.若，则平行六面体的体积C.D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由题意可得四边形为菱形，则可得，再计算，可得，从而得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；对于B，连接，可得，从而可证得平面，进而可求出体积，对于C，利用空间向量的加法分析判断，对于C，设，则可得，然后利用向量的夹角公式计算判断.【详解】对于A，因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形，所以，因为，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以A正确，对于B，连接，因为，，所以，所以为直角三角形，即，因为∥，所以，因为由选项A知平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以平行六面体的体积，所以B正确，对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，所以，所以，所以C错误，对于D，设，因为在菱形中，，所以，所以，所以D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判断，考查平行六面体体积的求法，考查空间向量的运算，解题的关键是正确利用平行六面体的性质结合题意分析求解，考查空间想能力和计算能力，属于较难题.12.已知函数，下列选项正确的是（）A有最大值B.C.若时，恒成立，则D.设为两个不相等的正数，且，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且，令，解得；令，解得；则函数在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，故A正确对于选项B：因为，则，所以，故B错误；对于选项C：构建，则，因为，且当时，恒成立，则，解得，若，则当时恒成立，则在上单调递减，则，符合题意综上所述：符合题意，故C正确；对于选项D：因为，整理得，即，由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减，当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，不妨设，构建，因为在上恒成立，则在上单调递增，可得，所以，即，可得，注意到在上单调递减，且，所以，即，故D正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是_______【答案】112【解析】【分析】由二项式系数和等于求得的值，再利用展开式的通项公式计算即可.【详解】依题意得：解得则由，解得从而.故答案为：14.现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，先求出进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率，然后根据各局游戏是相互独立，即可得到结果.【详解】设事件表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，则，则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为.故答案为：15.已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】设等比数列的公比为，求出、的值，可得出数列的通项公式，可求出的通项公式，求出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的最小值.【详解】设等比数列的公比为，则，解得，所以，，解得，则，所以，，，所以，数列为等差数列，所以，，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，.又因为，故的最大值为.因此，对任意的恒成立，所以，，故的最小值为.故答案为：.16.已知抛物线上存在两点（异于坐标原点），使得，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为________．【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，联立方程组，由条件证明，由此可得，再求，求四边形ACBD面积的解析式，求其最小值即可.【详解】由已知直线的斜率存在，且不为，故可设直线的方程为，联立，消得，，方程的判别式，设，则，所以因为，所以，所以，所以，又异于坐标原点，所以，所以，所以，所以直线的方程为，且所以直线与轴的交点为，所以点的坐标为，所以直线的方程为，联立，消得，，方程的判别式，设，则，所以，由已知，所以四边形ACBD面积，设，则，，所以，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，此时，设，可得，，所以当时，即时，取最小值，最小值为，所以四边形ACBD面积的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．四、解答题（共6小题，共70分）17.在中，角所对的边分别为，．（1）求角；（2）若的面积为，且，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换化简题干条件，从而得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理分别得到与的值，从而求得，由此得解.【小问1详解】，由正弦定理得，即，即，，，【小问2详解】，又，所以，即（负值舍去），又，所以的周长为.18.已知数列的首项，且满足.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；（2）先根据等比数列的通项公式可得，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.【小问1详解】因为，即，则，又因为，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.【小问2详解】由（1）知，所以.所以，当为偶数时，可得；当为奇数时，可得；综上所述：.19.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．附参考数据