{#{QQABYYIAogiAQhAAAAhCQwXSCgGQkAGCACoORBAEMAABQBFABAA=}#}{#{QQABYYIAogiAQhAAAAhCQwXSCgGQkAGCACoORBAEMAABQBFABAA=}#}#$#%!#$#&学年度高二年级上学期期中考试数学试卷参考答案#!)##*)+&!!'由(!得%的斜率为()!$!)$#!),-#!.因为向量!在向量上的投影向量为$!$/01!!#$!且$!$(槡!$$(槡#!所以!在$$槡%%上的投影向量为槡22(!&槡#&!#'%!.因为%%!!所以!&!所以((!解得'(!!&(&!故'3&(+!#&##&!4因为'()*的顶点分别为(%$!#&!)%)!!$&!*%&!$&!所以'()*的重心为+%!!&!%!因为()(#!(*()!所以()$(*()!!所以()%(*!所以'()*的外心为)*的中#%$)%#)$#点,%!$&!所以'()*的欧拉线方程为(!即&$3%#)($!##%)$!)%#)()()(+!'以(为坐标原点!()!(,!(-的方向分别为$!#!.轴的正方向建立空间直角坐标系%图略&!则,%$!%!$&!/%!!!!#&!因为()(/(%!!!!#&!,)(/(%!!)#!#&!所以()(/$,)(/(%!!4因为圆*与#轴相切于点(%$!#&!所以可设圆*的标准方程为%$)0%#)#&#(0#!$&03%$!因为圆*与直线&$)%#3*($相切!所以1(($0$!所以0(%或0()!+%!!所以圆*的标准方程为%$)%%#)#&#(*或%$3%#)#&#(!%*-!'如图!连接(*!),!设(**),(2!连接-2!以2为坐标原)()()()(点!2(!2)!2-的方向分别为$!#!.轴的正方向建立空间直角坐标系!则(%#!$!$&!*%)#!$!$&!/%$!!!!&!3%$!)!!!&!所以()(/#$&'(%)#!!!!&!*)(3(%#!)!!!&!)()(%)()((/$*3#所以/01(/!*3#()()(()!故异面直线(/!*3所成+!$(/$$*3$%*#角的余弦值为!%,!5因为点-%4!43!&!所以点-在直线%'$)#3!($上!#圆*'%$)#%#3!&#(&的圆心为*%#!)!&!半径5(#!而点6在圆!!*上!则$-6$678($-*$)5!$%&因此%$-6$3$-2$&678(%$-*$3$-2$&678)#!设点*关于直线%对称!!!高二数学参考答案第!页#共页$#%!{#{QQABYYIAogiAQhAAAAhCQwXSCgGQkAGCACoORBAEMAABQBFABAA=}#}书的点为*7%0!8&!则$-*$($-*7$!83!,()!!0)#由+解得0()#!8(%!即*7%)#!%&!所以$-*$3$-2$($-*7$3$-2$03#8)!)3!($!-##.$2*7$(槡!%!当且仅当点-!2!*7共线!且点-在线段2*7上时取等号!所以%$-6$3$-2$&678(槡!%)#!(*!5'如图!以,为原点!,(!,*!,,!所在直线分别为$!#!.轴!&!建立空间直角坐标系!设棱长为#!则(%#!$!$&!)%#!#!$&!*%$!#!)#!%!$&!(!%#!$!#&!)!%#!#!#&!*!%$!#!#&!,!%$!$!#&!因为/!3!+分别为棱(!,!!((!!*,的中点!所以/%!!$!#&!!*'&3%#!$!!&!+%$!!!$&!#)()()()($%所以)!+(%)#!)!!)#&!)3(%$!)#!!&!/3(%!!$!)!&!),!(%)#!)#!#&!()(*(%)#!#!$&!)()()()(因为)!+$/3($!所以)!+%/3!故5正确(因为)!+$)3($!所以)!+%)3!故'正确()()()()(因为)!+$),!(#!所以4错误(因为)!+$(*(#!所以.错误!!$!54若%!%%#!则'%%')#&)'(%'%')!&($!解得'($或'(!!故5错误(将直线%#3'&$3&#)#3'($整理成%$3!&'3#$3&#)#($!,$3!($!由+解得$()!!#(!!所以直线过定点%)!!!&!故'正确(-#$3&#)#($!$)#)!$%槡#将直线$3#)!($化为#$3##)#($!所以两直线间的距离1((!故4槡&3&&错误(记以(%)!!#&为圆心!!为半径的圆为2!!以)%%!)!&为圆心!&为半径的圆为2#!##因为两圆的圆心距1($2!2#$(槡%)!)%&3%#3!&(+!且两圆的半径之和5!35#(+!所以1(5!35#!所以两圆外切!所以两圆有三条公切线!这三条公切线满足与点(%)!!#&距离为!!且与点)%%!)!&距离为&!故.正确!(!!!5'4如图!以,为原点!,(!,*!,,!所在直线分别为$!#!.轴#!!建立空间直角坐标系!则(%#!$!$&!)%#!#!$&!*%$!#!$&!(!%#!$!!!$!&&!)!%#!#!&&!*!%$!#!&&!,!%$!$!&&!)()(设/%$!#!0&!0/)$!&*!则(!)!(%$!#!$&!)/(%)#!$!0&!%)()(因为(!)!$)/($!所以(!)!%)/!故5正确(#'因为!而为定值!点到平面的9/))!),!(9,!))!)/:')!)/,!)!)/$&!距离也为定值!所以为定值!故正确(9/))!),!')()(设平面),!/的法向量为#(%$!#!.&!因为)/(%)#!$!0&!),!(%)#!)#!&&!!!高二数学参考答案第#页#共页$#%!{#{QQABYYIAogiAQhAAAAhCQwXSCgGQkAGCACoORBAEMAABQBFABAA=}#})(,#$)/()#$30.($!所以令!得%!!&+)($(0#(0&)0#!-#$),!()#$)##3&.($!因为()(*(%)#!#!$&!所以由()(*$#()#03,)#0($!可得0(#!故4正确()(0&)0#因为,)!(%#!#!&&!且((无解!所以.错误!##&!#!54因为圆*的圆心为*%&!$&!半径5(#槡#!圆心*到直线%的距离1(%槡#!所以$-6$678(1)5(槡#!故5正确(因为点;%%!!&在圆*内!当弦与*;垂直时!弦长最短!因为$*;$(槡#!所以弦长的最小值为#槡5#)*;#(#槡!故'错误(##因为$-($(槡$-*$)5!所以当$-*$最小时!$-($最小!因为$-*$678(1(%槡#!所以$-($678(槡!$!故4正确(-(槡+#当$-*$最小时!0(-*最大!此时/010(-*((!因为/01#0(-*(#/010(-*-*%!)!(1$!所以#0(-*/%$!&!所以不存在点-使得过-所作圆*的两条切线互相*#垂直!故.错误!!%!%!!)#!)%&点(%!!)#!%&关于2$#平面对称的点的坐标为%!!)#!)%&!%!&!$或因为直线%被圆*截得的弦长为#槡%!所以圆心*%)#!$&到直线%的距离1(&$)%'3!$%(!!解得'($或!槡'#3!&(槡%!+!如图!连接(*!),!设(**),(2!连接-2!以2为坐标'%原点!2(!2)!2-所在直线分别为$!#!.轴建立空间直角坐标#&系!则(%槡#!$!$&!)%$!槡#!$&!*%)槡#!$!$&!-%$!$!槡#&!所以$)()()(!-((%槡#!$!)槡#&!-)(%$!槡#!)槡#&!-*(%)槡#!$!)槡#&!%))(,#$-)(槡##)槡#.($!设平面-)*的法向量为#(%$!#!.&!则+)(-#$-*()槡#$)槡#.($!令#(!!得#(%)!!!!!&!)()($-($#$#槡#槡所以178!($/01-(!##$()(((!而(0-(2(!所以178!$/01($-($$#$#槡%%&槡槡#槡%2(!%#%!!#槡#因为直线$3%0)!!($与直线8$3#)!($互相垂直!所以038(!!$0383!$#则点%!!!&到直线0$38#3!($的距离1((!槡0#38#槡0#38#!!高二数学参考答案第%页#共页$#%!{#{QQABYYIAogiAQhAAAAhCQwXSCgGQkAGCACoORBAEMAABQBFABAA=}#}0#38#038!!!因为.%&#(!所以0#38#.!当且仅当0(8(时!等号成立!##&####!所以038的最小值为!所以12#槡#!所以169:(#槡#!#!-!解'%!&当直线%的截距为$时!直线%的方程为#()%$!即%$3#($!………………!分,!)%!!$#3(!,0()#当直线%的截距不为$时!设直线%的方程为3(!!则+08解得+或08-8()#-$0$($8$!,0(&!+……………………………………………………………………………………%分-8()&!,0()#!若+则直线%的方程为$3#()#!即$3#3#($(……………………………&分-8()#!!,0(&$#若+则直线%的方程为3(!!即$)#)&($!-8()&!&)&综上所述!直线%的一般式方程是%$3#($或$3#3#($或$)#)&($!…………+分%#&当切线斜率不存在时!符合题意!此时切线方程为$(!(……………………………分当切线斜率存在时!设切线方程为#)%(%$)!&!即$)#)3%($!$))3%$+则(#!解得(!所以切线方程为+$)!##3%!($!……………………*分槡#3!!#故所求切线方程为$(!或+$)!##3%!($!…………………………………………!$分)()()(!)(!)()(!,!解'%!&),((,)()((*3((!)()!……………………………………………#分##)()()()()()()!*()*)))!((*)())((!!………………………………………………………&分)()(%#&连接()!%图略&!设线段*)!上存在一点/!使得),%(/!且)!/(#)!*!#/)$!!*!)()()()()()()()()(则(/(()!3)!/(()3((!3#)!*(#(*3%!)#&()3%!)#&((!!……………+分因为),%(/!)()(!)(!)()()()()(所以),$(/(%(*3((!)()&$)#(*3%!)#&()3%!)#&((!*($!……分##)()()()(因为((!$()($!((!$(*($!)()(!)()(!)(#!)(#)(#)()(所以),$(/(%!)#&(*$()3#(*3%!)#&((!)%!)#&())#()$(*!###……………………………………………………………………………………………,分)()()(#)(#)(#)(#)(#因为(*$()(#!((!($((!$(!!()((*($()$(&!)()(所以),$(/(!)#3##3,%!)#&)&%!)#&)##(+)+#($!………………………!$分)()(所以#(!!此时点/与点*重合!$(/$($(*$(#!…………………………………!#分)()()()(!)(!)(!*!%!&证明'(;(()3);(()3(,3((!!………………………………………%分##)(!)(!)(!)(!)(!!!所以(<((;(()3(,3((!!因为33(!!所以(!!)!,!<四点共##&&#&&!!高二数学参考答案第&页#共页$#%!{#{QQABYYIAogiAQhAAAAhCQwXSCgGQkAGCACoORBAEMAABQBFABAA=}#}面!……………………………………………………………………………………………分)(#)(!)(!)(#)(#!)(#!)(#)()()()(%#&解'(;(%()3(,3((!&(()3(,3((!3()$(,3()$((!3##&&!)()(*)(%(,$((!(!即$(;$(!……………………………