赤峰市高二年级学年联考数学试题文科数学答案2023．07一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案AABBDCBCBCCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．n+113．(1,3).14．4.15．−.16．(−−11，2．n+2三、解答题：共70分．（一）必考题：共60分.1ab17.证明：因为S=absinC,cosC=，---------------------------------------------4分△ABC2ab122所以S22=absinC△ABC4122=−ab(1cos2C)-----------------------------------------------------------6分42122ab=−ab1---------------------------------------------------------8分4ab1222=ab−ab---------------------------------------------------------10分4()1222于是S=ab−ab.---------------------------------------------------------12分△ABC2()18．解:（1）由频率分布直方图中数据知：平均成绩x=0.02+++++=450.16550.22650.30750.20850.109573.-----------------------------2分1设中位数为x，则0.00210+0.01610+0.02210+0.030(x−70)=0.5，解得x=73.----4分3（2）因为成绩在80,90),90,100的学生人数所占比例为0.020:0.010=2:1，------------------5分所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人，---------------------------------6分记抽取成绩在80,90)的4人为：a,b,,cd，抽取成绩在90,100的2人为：EF,，从这6人中随机抽取2人的所有可能为：(ab,,,,,,,,,,,,,,,)(ac)(ad)(aE)(aF)(bc)(bd)(bE)，(bF,,,,,,,,,,,,,)(cd)(cE)(cF)(dE)(dF)(EF)，共15种，------------------------------------------8分抽取的2名学生中至少有一人的成绩在的是(a,,,,,E)(aF)(bE)，(文数答案)1/4{#{QQABYQaEggCgABBAARgCAQHQCEAQkBGACAgGBFAAoAAAyQNABAA=}#}{#{QQABaQYAogCAAhBAABhCAQWwCkMQkAGAACgGAFAMsAAASQFABAA=}#}(bF,,,,,,,,,,,)(cE)(cF)(dE)(dF)(EF)，只有9种，----------------------------------------------11分93故做培训的这2名学生中至少有一人的成绩在90,100的概率P==.---------------------12分15519．解（1）由已知，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，所以可设它的标准方程为y2=20px(p)---------------------------------------------------------2分把点M(2,−22)代入，得yx2=4.-----------------------------------------4分（2）由题意，直线l的方程为y=kx+2k+1.-----------------------------------------------------5分y=kx+21k+2联立方程组2ky−4y+4(2k+1)=0（*）--------------------------------6分yx=41（ⅰ）当k=0时，直线ly:1=与有唯一公共点,1.----------------------------7分4（ⅱ）当k0时，判别式为△=−16(2kk2+−1)-----------------------------------------------8分1①由△=02k2+k−1=0k=−1,k=.21故k=−1或k=时，方程（*）只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点.------9分21②由△02k2+k−10−1k.21故当−1k且k0时，方程（*）有两个解，即直线与抛物线有两个公共点.-----10分21③由△02k2+k−10k−1,或k.21故当kk−1,或时，方程（*）无实数解，即直线与抛物线没有公共点.-----------11分2综上，当或或时，直线与抛物线只有一个公共点；当且时，直线与抛物线有两个公共点；当时，直线与抛物线没有公共点.----------------------------------------------12分20.（1）由椭圆定义得，CF1+CF2=DF1+DF2=2a，则△FCD1的周长为4aa=8=2，----------------------------------------------------------------2分xy221则椭圆方程为+=1，把3,−代入得，b=1.-----------------------------------------3分4b22x2故椭圆方程为+=y21.-------------------------------------------------------------------------------4分4(文数答案)2/4{#{QQABYQaEggCgABBAARgCAQHQCEAQkBGACAgGBFAAoAAAyQNABAA=}#}{#{QQABaQYAogCAAhBAABhCAQWwCkMQkAGAACgGAFAMsAAASQFABAA=}#}（2）由已知得，直线l和斜率必存在，故可设l:y=−kx2.------------------------------------5分y=−kx2联立21+4k22x−16kx+12=0（）分x2()*------------------------------------------------6+=y1431612所以△=64kk22−480，x+x==,xx-----------------------------8分4121++4kk22121444k2−3所以PQ=11+k22x−x=+k.-------------------------------------------------9分1214+k22又，点O到直线l:2y=−kx的距离为d=------------------------------------------------10分1+k2144k2−3所以S△OPQ=PQd=214+k24t44S△===1令222，则OPQ24，-------------------------11分4k−3=t04k=t+3t+44t+t277当且仅当tk=4,即=时，S△OPQ取最大值，此时直线方程为yx=−2.------12分22x2121．解:（1）当a=−1时，f(x)=−lnx+，过点1,------------------------------------1分221则f(x)=−+xf(10)=---------------------------------------------------------------------2分x1故fx()在x=1处的切线方程为y=.---------------------------------------------------------------3分2a(x−−a)(x1)（2）函数的定义域是(0,+)，f(x)=+x−(a+1)=--------------------4分xx①当01a时，令fx0，得：x1或0xa；令fx()0，得：ax1，所以在(0,a)上单调递增，在(a,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增．------------------5分②当a=1时，fx()0，所以在上单调递增．--------------------------------------6分③当a1时，令，得：xa或01x；令，得：1xa．故在(0,1)上单调递增，在(1,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增．----------------------7分综上所述：当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．---------------------------8分（3）证明:因为，且1ea，所以由（2）知当时，，单调递减；当axe时，，单调递增,--------------------------------------------------------------9分(文数答案)3/4{#{QQABYQaEggCgABBAARgCAQHQCEAQkBGACAgGBFAAoAAAyQNABAA=}#}{#{QQABaQYAogCAAhBAABhCAQWwCkMQkAGAACgGAFAMsAAASQFABAA=}#}aa22所以fxfaaa()()=ln+−(aaaa+1)=ln−−a,22x2设g(x)=xlnx−−x，1ex，2则g(x)=lnx+1−x−1=lnx−x，-------------------------------------------------------------------------10分1则令h(x）=lnx−x,h(x)=−1，当时，hx()0，x所以gx()在(1,e)上单调递减，所以g(x)g(1)=−10，---------------------------------------11分e2故函数gx()在上单调递减，所以g(x)g(e)=−，2e2所以当x(1,e)时，fx()−成立．---------------------------------------------------------------12分2x=2cos,22．解：（1）由（为参数），得xy22+=4，-----------------------------------------2分y=sin因为0xy2,02，所以曲线C的普通方程为x22+=y4(0x2,0y2).-----------------------4分1故曲线表示圆的（右上的）.------------------------------------------------------------5分4（2）由cos+sin−a=0，得x+−=ya0，------------------------------------------------------------7分a当直线l与圆相切时，=2，则a=22，------------------------------------------------8分2当直线经过点(2,0)时，a=2.-----------------------------------------------------------------------------------9分a