漯河市高级中学2023—2024学年高三（上）摸底考试数学考生注意：1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下面四个命题正确的是()A.10以内的质数集合是B.0与表示同一个集合C.方程的解集是D.由1，2，3组成的集合可表示为或2.若复数z所对应的点在第四象限，且满足，则()A. B. C. D.3.已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，则等于()A. B. C. D.4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？()A.第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.6.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n.若，则直线l与平面所成的角为()A. B. C. D.7.若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为()A. B. C. D.8.函数的图象大致是()A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知集合有且仅有两个子集，则下列结论正确的是()A.B.C.若不等式的解集为，则D.若不等式的解集为，且，则10.双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则C的离心率为()A. B. C. D.11.下列说法正确的是()A.点斜式适用于不垂直于x轴的任何直线B.斜截式适用于不垂直于x轴的任何直线C.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线D.截距式适用于不过原点的任何直线12.已知函数，则下列说法正确的是()A.函数在处取得极大值 B.方程有两个不同的实数根 C. D.若不等式在上恒成立，则三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是______.14.已知函数在上是增函数,则a的取值范围是__________.15.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，P，Q，M，N分别是棱，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是___________.16.在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，求的前n项和.18.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在l上.（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围.19.（12分）已知函数，且，.（1）求的解析式；（2）判断在上的单调性，并用定义证明.20.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.21.（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得直线l与圆相切，与椭圆C交于A，B两点，且满足(O为坐标原点)?若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.22.（12分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.（1）求该段抛物线的方程；（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？