焦作市博爱一中2023—2024学年高三年级（上）定位考试数学考生注意：1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则能使成立的实数a的取值的集合是().A. B. C. D.2.已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.73.对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在R上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，则不等式的解集是()A. B.C. D.4.若复数z所对应的点在第四象限，且满足，则()A. B. C. D.5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.6.已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，则等于()A. B. C. D.7.已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为H，则()A.1 B.2 C.4 D.8.若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为()A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知集合有且仅有两个子集，则下列结论正确的是()A.B.C.若不等式的解集为，则D.若不等式的解集为，且，则10.已知，，若圆上存在点M满足，则实数a可以是()A.-1 B. C.0 D.111.已知直线，，不能围成三角形，则实数a的取值可能为()A.1 B. C.-2 D.-112.若定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，下列函数是“H函数”的有().A. B.C. D.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知，则________.14.正四棱柱中，与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为___________.15.已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是______.16.某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数，且，.（1）求的解析式；（2）判断在上的单调性，并用定义证明.18.（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.19.（12分）如图，在三棱锥中，，D是BC的中点，平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知，，，.（1）求证：.（2）若点M是线段AP上一点，且，试证明平面平面BMC.20.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在l上.（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围.21.（12分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.（1）求该段抛物线的方程；（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？22.（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得直线l与圆相切，与椭圆C交于A，B两点，且满足(O为坐标原点)?若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：C解析：解：由知，且，解得.2.答案：C解析：因为，所以.又因为，，所以，当且仅当时取等号.由题意可得，即，则m的最大值为3.故选C.3.答案：A解析：由不等式，得.设函数，则，所以在R上单调递增.因为，所以.解得或.故选：A.4.答案：C解析：根据已知有：因为复数z满足：，即，故或，因为复数z所对应的点在第四象限，故复数，所以.故选C.5.答案：D解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则由题意可知，，因此有，即，解得，因为，所以.所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.故选：D.6.答案：D解析：因为E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，所以，所以.因为，，，所以.故选D.7.答案：A解析：根据双曲线的对称性，不妨在双曲线右支上取点P，延长，交于点Q，图略.由角平分线性质及可知.根据双曲线的定义得，，从而，在中，OH为其中位线，故.故选A.8.答案：A解析：因为，所以，设，，则，，令恒成立，故单调递减，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故所以，得到.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.答案：ABD解析：由于集合有且仅有两个子集，所以，.因为，所以.，当且仅当，时等号成立，故A正确.，当且仅当，即，时等号成立，故B正确.不等式的解集为，则，故C错误.不等式的解集为，即不等式的解集为，且，又因为，，所以，所以，故D正确.选ABD.10.答案：ABC解析：点M在以AB为直径的圆上，故问题等价于圆O与圆C有公共点，所以，解得，故选ABC.11.答案：BCD解析：因为直线的斜率为3，直线的斜率为，所以直线，一定相交，交点坐标是方程组的解，解得所以交点坐标为.当时，直线与x轴垂直，方程为，不经过点，所以三条直线能围成三角形.当时，直线的斜率为.若直线与直线的斜率相等，则，即，此时这两条直线平行，因此这三条直线不能围成三角形；若直线与直线的斜率相等，则，即，此时这两条直线平行，因此这三条直线不能围成三角形；若直线过直线，的交点，则，即，此时三条直线不能围成三角形.故选BCD.12.答案：BC解析：由题意可知是R上的增函数.对于A，由，得，所以在区间上为增函数，故A中函数不是“H函数”；对于B，，又，所以恒成立，故B中函数是“H函数”；对于C，恒成立，故C中函数是“H函数”；对于D，易知为偶函数，所以它不可能为R上的增函数，故D中函数不是“H函数”.三、填空题：每小题5分，共4小题，共20分.13.答案：解析：因为，，所以，所以，所以，，所以，则.故答案为：.14.答案：解析：以A为原点，AB，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.设，，则，，，，，所以，平面的一个法向量.设与平面所成的角为，则，解得.所以，.设异面直线与所成的角为，则.15.答案：解析：求导函数，可得，，，，在上单调递增，，对任意的，，都有成立，，，故答案为：.16.答案：240解析：先将5名学生分成4组共有种，再将4组学生安排到4所不同的学校有种，根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.故答案为：240.四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.答案：（1）（2）单调递增，证明见解析解析：（1）由题意，得，即，解得：，.故.（2）方法一：在上单调递增.证明：，且，则.由，得，，，所以，即.故在上单调递增.方法二：在上单调递增.证明：，且，则.由，得，，所以.故在上单调递增.18.答案：（1）或（2）解析：（1）因为，且，则，又，所以，即，故或；（2）由，则，由，解得，又与不共线，则，解得，故与的夹角为锐角时，实数的取值范围为：.19.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）因为，D是BC的中点，所以.如图，以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以射线AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，所以，所以，即.（2）因为平面，平面ABC，所以.因为，，所以.因为M为AP上一点，且，所以.由（1）得，所以.又，所以.所以，.设平面BMC的法向量为，则即令，则，，所以.设平面AMC的法向量为，则即令，则，，所以.所以，所以，所以平面平面BMC.20.答案：（1）或，即或（2）解析：（1）由得则圆心.又圆C的半径为1，圆C的方程为.显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即.，，，或.所求圆C的切线方程为或，即或.（2）设，则由，得，即，故点M的轨迹方程为，记为圆D.根据题意只要保证圆D与圆C有公共点即可.设，则，即，解得.圆心C的横坐标a的取值范围为.21.答案：（1），（2）20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大解析：（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，，所以，解得，故该段抛物线的方程为，.（2）由（1）可设，所以梯形ABCD的面积，，设，，则，令，解得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值.故当CD长为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大.22.答案：（1）（2）不存在直线l满足题意，理由见解析解析：（1）设椭圆C的方程为.因为过，两点，故解得，所以椭圆C的方程为.（2）假设存在直线l满足题意.(i)当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为.当时，，，，同理可得，当时，.(ii)当直线l的斜率存在时，设l的方程为，设，，因为直线l与圆O相切，所以，即①，联立方程组整理得，，由根与系数的关系得因为，所以.所以，所以，整理得②，联立①②，得，此时方程无解.由(i)(ii)可知，不存在直线l满足题意.