绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷D本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意可知，集合为集合的子集，集合的子集有个，故选D。2．函数的导数是（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意得，函数的导数为，故选A。3．已知命题：，命题：，若命题是命题的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】集合、集合，若是的必要不充分条件，则，则，故选B。4．设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，∴为奇函数，排除AC，且当时，，故选B。5．已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的图像的一个对称中心可以为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵函数的图像与的图像关于直线对称，设为函数图像上的任意一点，则关于直线的对称点在图像上，∴满足，可得，∴由，，解得，，∴当时，则的图像的对称中心为，故选C。6．若方程在区间内有个不等实根，则实数的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】由得，∵当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，而当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，若方程有个不等实根，只需即可，即，即，故选A。7．已知、、，则下列排序正确的是（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，，令（），则，∴在上单调递减，∴，即，∴，∵，∴，即，故选C。8．已知函数的图像与的图像相交于、两点，且，若，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵函数的图像与的图像相交于、两点，且，∴方程有两个实数根、，且，∴有两个实数根、，且，∴或，若，则，∴，∴，满足题意，若，则，∴，∴，与矛盾，舍去，综上所述，，故选B。二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．设函数，则下列命题正确的是（）。A、是偶函数B、值域为C、存在，使得D、与具有相同的单调区间【答案】BC【解析】∵，∴，不是偶函数，A选项错，时，，时，，∴值域为，B选项对，∵，，C选项对，∵具有单调性的区间与具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，D选项错，由表达式也可以看出。故选BC。10．设正实数、满足，则（）。A、有最小值B、有最大值C、有最大值D、有最小值【答案】AD【解析】由、、可得，当且仅当，即、时取等号，A选项，，当且仅当，即、时取等号，对，B选项，，当且仅当，即、时取等号，错，C选项，设、，∵，∴，即，当且仅当，即、时取等号，错，D选项，，当且仅当，即、时取等号，对，故选AD。11．已知函数及其导函数的定义域为，记，若、均为偶函数，则下列式子一定成立的是（）。A、B、C、D、【答案】BC【解析】∵为偶函数，∴，即，∴的图像关于直线轴对称，∴，C选项对，∵为偶函数，∴，∴的图像关于直线轴对称，由可知，∴∴，∴，∴的图像关于点中心对称，函数及其导函数的定义域为，∴在上连续，∴，又得，∴，∴，∴的周期，∴，B选项对，，与不一定相等，D选项对，不一定相等，A选项对，故选BC。赋值法：由题意可知周期为，其图像关于点中心对称，关于直线轴对称，直接设，则，则AD选项错，BC选项对。12．设函数，则下列结论正确的是（）。A、B、的最大值为C、在单调递增D、在单调递减【答案】AD【解析】A选项，的定义域为，，对，B选项，，设，其值域相当于点与点连线的斜率的范围，而点在单位圆上，设直线与圆：相切时的直线为、，设：，圆心到直线：的距离，解得，同理可知，∴的值域为，∴的值域为，∴的最大值为，错，C选项，，当时，，∴，∵为增函数且，而在为增函数，∴在上为增函数，∴在有唯一解，∴当时，，即，∴在内单调递增，当时，，即，∴在内单调递减，∴在内不单调，错，D选项，当时，，∴在内单调递减，对，故选AD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为。【答案】【解析】由题意函数为奇函数可知∴，∴，则函数可化为，则，，则由导数得几何意义可知曲线在点处的切线斜率为，∴曲线在点处的切线方程为。14．已知正实数、满足：，则的最小值为。【答案】【解析】构造函数，定义域为，恒成立，∴在内单调递增，∵，∴恒成立，∴。变式：已知正实数、满足：，则的最小值为。【答案】【解析】构造函数，定义域为，恒成立，∴在内单调递增，∵，∴恒成立，∴，当且仅当且时，即且时取等号，∴的最小值为。15．已知函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为。【答案】【解析】的定义域为，，∵函数在上有且仅有一个极值点，∴在上有且仅有一个变号零点，即函数与水平直线有且仅有一个非切线交点，做的图像如图所示，则，故选B。讲解：时不是变号零点，而另一个交点是变号零点；时不是变号零点。16．自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快。中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，如图所示，管道沿、、、拐过直角（线段过点，点、、在同一水平面内），峡谷的宽分别为、，如图所示，设与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，则得长（用表示），要使输气管道顺利通过拐角，长度不能低于。（本小题第一个空2分，第二个空3分）【答案】【解析】如图所示，在中，，在中，，∴，，令，，则，令，，则，联立（）可得：、，∴当时，，∴在内单调递减，当时，，∴在内单调递增，∴在处取得极小值也是最小值为：，即的长度不能低于。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分分）已知函数（），其中为自然对数的底数，。（1）判断函数的单调性，并说明理由；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围。【解析】（1）由题可知，的定义域为，，1分①当时，，函数为上的减函数，2分②当时，令，得，当，则，此时函数为单调递减函数，当，则，此时函数为单调递增函数；4分（2）由题意，问题等价于，不等式恒成立，即，恒成立，令，则问题等价于不小于函数在上的最大值，6分，8分当时，，∴函数在上单调递减，∴函数在的最大值为，9分∴若，不等式恒成立，实数的取值范围为。10分18．（本小题满分分）已知、，且、。（1）求的值；（2）令，设，是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值，否则，请说明理由。【解析】（1）∵、，且，，∴、，则，3分∵，∴；4分（2）由（1）得，则，设，∴，5分∵，∴，∵，∴，∴，8分令，，当时，，（舍），9分当时，函数图像的对称轴方程为，∴（舍），10分当时，此时函数图像的开口向下，∴，又，∴，解得，符合题意，11分∴存在，使得的最小值。12分19．（本小题满分分）已知函数是偶函数。（1）当，函数存在零点，求实数的取值范围；（2）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围。【解析】（1）∵是偶函数，∴，即对任意恒成立，∴，∴，即，2分∵当，函数有零点，即方程有实数根，令，则函数与直线有交点，3分∵，又，∴，∴实数的取值范围是；5分（2）∵，又函数与的图像只有一个公共点，则关于的方程只有一个解，∴，令（），得，7分①当，即时，此方程的解为，不满足题意，8分②当，即时，此时，又，，∴此方程有一正一负根，满足题意，10分③当，即时，由方程只有一正根，则需，解得，11分综合①②③得，实数的取值范围为：。12分20．（本小题满分分）已知函数。（1）若，，求函数的图像的对称轴；（2）已知，函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、（），求实数的取值范围以及的值。【解析】（1）函数的最小正周期，∵，，∴函数的最小正周期，∴，解得，2分当时，，令（），解得（），∴函数的图像的对称轴为（），3分当时，，令（），解得（），∴函数的图像的对称轴为（）；4分（2）由题意可知，5分∵是的一个零点，∴，∴，∴（）或（），∴（）或（），又，∴，∴，7分当时，，设，则，则原式可化为，即的图像在区间内与水平直线的图像有个不同的交点，作出在上的图像如下图所示，∴当时，即与恰有个不同的交点，∴实数的取值范围为，10分设与的个不同的交点分别为、、（），则、，∴，即，整理得。12分21．（本小题满分分）设函数，其中，曲线在点（）处的切线经过点。（1）求函数的极值；（2）证明：。【解析】（1）的定义域为，，1分则，，∴在（）处的切线方程，2分∵该切线经过点，代入得，解得，3分∴，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，5分∴当时，函数取得极小值，无极大值；6分（2）等价于：，由（1）可得（当且仅当时等号成立）①，∴，∴只要证明即可，（需验证等号不同时成立），9分设，，则，当时，，∴单调递减，当时，，∴单调递增，∴，当且仅当时等号成立②，∵①②等号不同时成立，∴当时，。12分22．（本小题满分分）设，函数。（1）求证：存在唯一零点；（2）在（1）的结论下，若，求证：。【解析】（1）的定义域为，，1分∴，令，解得，∴当时，，在内单调递减，当时，，在内单调递增，∴，∴在上单调递增，4分∵，∴当时，存在唯一零点，当时，，取，则，∴由零点存在性定理可知：存在唯一一个，使得，综上所述，存在唯一零点；6分（2）由（1）中可得唯一一个，使得，，∴，∵，∴，∴，令，∴，，∴，7分需要证明：，设，∴，∴在上单调递减，又，∴当时，，∴，8分设，，∴，，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递减，9分设，，∴，，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递减，∴，∴，当时取等号，11分综上所述，与在上都单调递减，且，，，∴，即得证。12分