专题02函数与导数（新定义）一、单选题1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ）A． B． C． D．2．（2019秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质：①对任意a，，；②对任意，；③对任意a，，．则函数的值域是（    ）A． B． C． D．3．（2023·上海·统考模拟预测）设，若正实数满足：则下列选项一定正确的是（    ）A． B．C． D．4．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．5．（2023·高二单元测试）能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（    ）A． B．C． D．6．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设，计算机程序中用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数．例如；．已知函数，其中，则函数的值域为（    ）A． B．C． D．7．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ）A． B． C． D．8．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）在定义域内存在，使得成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（    ）A． B．C． D．9．（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）对实数a与b，定义新运算:，设函数，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（    ）A． B．C． D．10．（2022秋·山东日照·高一统考期末）已知符号函数则“”是“”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件11．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质．已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．12．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（    ）A． B． C． D．13．（2023·全国·高三专题练习）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.若在上是“弱减函数”，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．14．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）已知定义域为的“类康托尔函数”满足：①，；②；③.则（    ）A． B． C． D．15．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）定义两种运算：，，则函数的解析式为（    ）A．，B．，C．，D．，16．（2023·全国·高三对口高考）定义，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．17．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）定义在上的函数，若对于任意的，恒有，则称函数为“纯函数”，给出下列四个函数（1）；（2）；（3）；（4），则下列函数中纯函数个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．318．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准奇函数”．若函数，则是“（    ）阶准奇函数”．A．1 B．2 C．3 D．419．（2022秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）定义为不小于的最小整数（例如：，），则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．20．（2022秋·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）设是上的任意实值函数．如下定义两个函数和，对任意，，则下列等式不恒成立的是（    ）A． B．C． D．21．（2021秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知，是定义在上的严格增函数，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”．已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的个数为（    ）个．①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．422．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数．已知函数是“函数，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．23．（2022秋·河南周口·高一校考期中）对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（    ）A． B． C． D．24．（2021秋·浙江嘉兴·高一校联考期中）定义，如．则函数的最小值为（    ）A． B． C． D．25．（2023·高一课时练习）函数满足在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“有偶函数”．若函数是在上的“有偶函数”，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．26．（2020秋·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数和，设函数的定义域为，则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（    ）①②；③A．0 B．1 C．2 D．327．（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．28．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）对于定义域为的函数，若存在非零实数，使函数在和,上与轴均有交点，则称为函数的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（    ）A． B．C． D．29．（2022秋·江西景德镇·高一江西省乐平中学校考阶段练习）若函数对任意且，都有，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（    ）A． B．C． D．30．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（    ）A． B．C． D．31．（2023·全国·高三专题练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“”、“内卷”、“躺平”等．定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（    ）A． B． C． D．32．（2022·高二课时练习）设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数t的取值范围是（    ）A． B． C． D．33．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．34．（2022春·山东·高三山东师范大学附中校考期中）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（    ）A． B．C． D．二、多选题35．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”，则（    ）A．函数有3个“和谐区间”；B．函数，存在“和谐区间”C．若定义在上的函数有“和谐区间”，实数的取值范围为D．若函数有“和谐区间”，则实数的取值范围为36．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，则（    ）A．是单调递增函数 B．当时，的最大值为C．当为素数时， D．当为偶数时，37．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）对于函数，若在区间上存在，使得，则称是区间上的“稳定函数”.下列函数中，是区间上的“稳定函数”的有（    ）A．B．C．D．38．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（    ）A．函数（其中为常数，为回旋函数的充要条件是B．函数是回旋函数C．若函数为回旋函数，则D．函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点39．（2023秋·河南周口·高一统考期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②若对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（    ）A． B． C． D．40．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数，表示“不超过的最大整数”，后来我们又把函数称为“高斯函数”，关于下列说法正确的是（    ）A．对任意，，都有B．函数的值域为或C．函数在区间上单调递增D．41．（2023·山东临沂·高一校考期末）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称值是的一个周期为k的周期点．若，下列各值是周期为2的周期点的有（    ）A．0 B． C． D．42．（2022秋·河南漯河·高一漯河四高校考期末）设函数的定义域为，若对于任意，存在使（为常数）成立，则称函数在上的“半差值”为下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为的函数是（    ）A． B．C． D．43．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，都有，，且．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．①若，则；②若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值；③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数．44．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则的取值范围是___________.45．（2023秋·山东德州·高一统考期末）在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．函数，定义使为整数的数叫做企盼数，则在区间内，这样的企盼数共有_______个．46．（2021春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）对于函数可以采用下列方法求导数：由可得，两边求导可得，故.根据这一方法，可得函数的极小值为___________.47．（2021春·重庆渝北·高二重庆市两江中学校校考阶段练习）设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．48．（2018春·河南南阳·高二统考期中）定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上是一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是__________．四、解答题49．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数“不动点”函数，实数为该函数的不动点.(1)求函数的不动点；(2)若函数有两个不动点，且，，求实数的取值范围.50．（2023秋·北京·高一校考期末）已知函数，若点