2024届新高三开学摸底考试卷（全国卷）理科数学·参考答案02123456789101112BADBBACDDAAD13．14．/0.7515．16．/17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，，所以，，又由，得，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．18．(1)证明见解析(2)【详解】（1）设BD交AC于点O，连接EO，FO，因为四边形ABCD为菱形，所以.因为ED平面ABCD,AC平面ABCD，所以.又，平面BDEF，所以平面BDEF；又平面BDEF，所以.设FB=1，由题意得ED=2，.因为FB//ED，且面，则FB平面ABCD，而平面ABCD，故，，所以，，.                               因为，所以.                           因为，平面ACF，所以EO平面ACF.                          又EO平面EAC，所以平面EAC平面FAC.（2）取EF中点G，连接OG，所以OG//ED，OG底面ABCD.以O为原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，由（1）中所设知，，所以，,所以.所以，，，设平面FAE的一个法向量为，则，所以；平面AEC的一个法向量为，则，所以；所以，由图形可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的大小为.19．(1)(2)(3)分布列见解析，40【详解】（1）将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，可能的结果共有：（种）三名顾客产生的反馈结果总共有：（种）则，∴购物中心得分为50分的概率为（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则，，（3）可能的取值为2、3、4、5、6，，23456∵，∴．20．(1)(2)是定值，定值为.【详解】（1）依题意，，，，，所以，所以椭圆C的标准方程为：.（2）设过点D且斜率不为0的直线方程为，联立，消去并整理得，，设，，则，，所以.所以为定值.21．(1)；(2)证明见解析【详解】（1）当时，，则，所以，，所以在点处的切线方程为，即（2）证明：由，可知，因为（）是的极值点，所以方程的两个不等的正实数根，所以，，则．要证成立，只需证，即证，即证，即证，设，则，即证，令，则，所以在上单调递减，则，所以，故．22．(1)曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；(2).【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即，则曲线的直角坐标方程为，把参数方程平方相加得曲线的普通方程为.（2）易知点在直线上，且该直线的斜率为，倾斜角为，则曲线的参数方程为（为参数），联立曲线的参数方程与曲线的普通方程得，设点，在直线上对应的参数分别为，，由韦达定理可得，，.23．(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题知，其函数图象如图所示，所以，.（2）由（1）可知，则，解法一：利用基本不等式：，当且仅当时取等号.所以，.解法二：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号.所以，.公众号：高中试卷君