2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）文科数学·答案及评分标准123456789101112CBDDABBCBADC13． 14．115． 16．117．【解析】（1）因为底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O所以O为AC中点,点E是棱PA的中点,F是棱PB的中点,所以OE为三角形的中位线,OF为三角形的中位线,所以,,（3分）平面,平面,平面,平面,平面,平面,而,平面,平面,平面平面PCD.（6分）（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形,,所以为等边三角形,所以,因为底面ABCD,底面ABCD,底面ABCD,所以,,（8分）所以和均为直角三角形,所以,,所以,所以,所以,（10分）设点到平面的距离为,根据体积相等法可知,所以,所以.,故三棱锥的体积为.（12分）18．【解析】（1）由题图可知,,解得,（2分）质量指标的平均值．（4分）（2）依题意,质量指标值在的有4件,记为1、2、3、4,质量指标值在的有3件,记为,（5分）则随机抽取2件,所有的情况为,,共21件,其中满足条件的为,,共15件,故所求概率．（8分）（3）完善表格如下：A机器生产B机器生产总计优质品20080280合格品12080200总计320160480（10分）在本次试验中,的观测值,故没有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性．（12分）19.【解析】（1）  由题意知,.（2分）设,所以.在中,,所以,从而.（5分）（2）设,在中,,在中,,所以.（8分）在中,由,得,所以,（10分）从而的面积为.（12分）20．【解析】（1）由题可得,故可得,（2分）则,（3分）故的标准方程为.（4分）（2）由（1）中所求可得点A,的坐标分别为,又双曲线渐近线为,显然直线的斜率不为零,故设其方程为,,（5分）联立双曲线方程可得：,设点的坐标分别为,则,,；（6分）又直线方程为：,令,则,故点的坐标为；直线方程为：,令,则,故点的坐标为；（7分）则故为定值.（8分）（3）当直线斜率不存在时,对曲线,令,解得,故点的坐标为,此时,在三角形中,,故可得,则存在常数,使得成立；（9分）当直线斜率存在时,不妨设点的坐标为,,直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,则,,假设存在常数,使得成立,即,则一定有,也即；又；；又点的坐标满足,则,故；（11分）故假设成立,存在实数常数,使得成立；综上所述,存在常数,使得恒成立.（12分）21.【解析】（1）令,则,所以,则,令,则,（2分）选①：当时,因为时,,所以在上单调递增,又,所以当时,,说明在上单调递增,所以,符合题意；（4分）当时,,当时,,所以在上单调递减,又,所以当时,,说明在上单调递减,所以当时,,此时不符合题意；综上,实数的取值范围.（6分）选②：在上单调递增,所以在上恒成立,当时,,所以在上递增,又,所以当时,,所以在上单调递减,不符合题意；（4分）当时,当时,,所以在上单调递减,当时,,所以在上单调递增,从而,由在上恒成立,得,令,说明在单调递增,在单调递减,所以,当且仅当时取得等号,故.综上,实数的取值范围.（6分）（2）当时,当时,在上单调递减,又,当时,,说明在上单调递增,当时,,说明在上单调递减,所以为极大值点.（8分）由（1）有,则,所以当时,有,所以当时,,所以使得.当时,,当时,,所以为极小值点,综上,函数有两个极值点；（10分）其中满足,所以,设,则,由（1）知,所以单调递增,所以随着的增大而增大,又,所以,故随着的增大而增大.（12分）22.【解析】（1）把,代入,得曲线的极坐标方程为,即．（2分）将中的参数消去,得曲线的普通方程为,把,代入,得曲线的极坐标方程为,即．（5分）（2）由题得,,,,（7分）因为,所以,其中,,当,即时,的面积取得最大值．（10分）23.【解析】（1）函数的最小值为,此时,（1分）当时,,当时,,当时,,函数,（3分）函数在上单调递减,在上单调递增,当时,,所以函数的最小值为,故.（5分）（2）由（1）知,,因为,,所以,,,,,（7分）又因为,所以,又,所以,所以．所以．（10分）公众号：高中试卷君