山大附中高三年级开学摸底测试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，集合，则()A.�={�B.∈≤5}C.�={�|�(�−2)>D.0}�∩�=2.{2,3,4}已知，则{3,4,5}()[2,5)(2,5]1−�2+2�A.�=B.�·�=C.D.143.已知向量�，若01，则()A.�=(1,1)B.�=(1,−1)C..��+�//�+D��.4.�设函+�数=1�+在区�=−间1单��调=递1增，则的取值范��=−围1是()�(�−�)A.�(�)=B2.−1,0C.�D.5.(设−曲∞,线−2][−2,0)，(0,2]的离心率[2分,+别∞为)，若22�2�2122122，则�:(�+)�=1(�>1)�:4−�=1��.�=1A.5��=B.C.D.236.过3点与圆23相切的两条直线的6夹角为则22((0)−2)�+�−4�−1=02�sinA.�=B.C.D.151067.1记为数列的前4项和，设甲：4为等差数列：乙4：为等差数列，��则()��{��}�{��}{�}A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知   ，且，则 的值为��()2sin(�−4)cos(�+�)=cos2�sin�≠0tan(�+6)A.B.C.D.3332−32+3第页，共页14{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.一组样本数据，且成等差数列，其中是最小值，是最大值，则()�1,�2,⋅⋅⋅,�6�1�6A.的平均数等于的平均数B.�2,�3,�4,�5的中位数等于�1,�2,⋅⋅⋅,�6的中位数C.�2,�3,�4,�5的标准差不小于�1,�2,⋅⋅⋅,�6的标准差D.�2,�3,�4,�5的极差不大于�1,�2,⋅⋅⋅,�的6极差10.�2拉,�普3,�拉4,斯�5称赞对数是一项�1“,�使2,⋅天⋅⋅,文�6学家寿命倍增”的发明，对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算．年月日至日，围棋世界冠军柯洁与公司开发的程序“2017”5进行23三局人机27对弈，以复杂的围棋来测试人��工????智�能�????围棋复杂度的上限约�为��ℎ????�，而根据有关资料，可观测宇宙中361普通物质的原子总数约为若�两=数3常用对数之差的绝对值不超过，则称80两数“可相互替代”下列�数=值1与0的.值“可相互替代”的有()1�.�参考数据： ， A(.lg2=B0..301lg3=0.4C7.7)D.9192939411.10已知函数的定10义域为，10，10则()A.�(�)��(�B�.)=��(�)+��(�)C.�(0)是=奇0函数D.�(−1为)=0的极大值点12.�(下�)列物体中，能够被整体放入棱长�为=0单位�(：�)的正方体容器容器壁厚度忽略不计内的有()1(�)(A.直径为)的球体B.所有棱长均为的四面体C.底面直径0.为99�，高为的圆柱体1.4�D.底面直径为0.01�，高为1.8�的圆柱体三、填空题（本1大.2题�共4小题0.0，1�共20.0分）13.某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修门或门课，4则不同的选课方案共4有种用数字作答．814.在2正四棱3台中，，(，)，则该棱台的表面积为����−�1�1�1�1��=2�1�1=1��1=2第页，共页24{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}15.已知函数在区间有且仅有个极值点，则的取值范围是�(�)=．cos��−1(�>0)[0,2�]3�16.已知双曲线的左右焦点分别为，点在上，22��2212点在轴上，�:�−�=，1(�>0,�>，0)则的离心率为�．,���32四、�解�答题（本�1大�·题�1共�=6小0题�，�共=705.�0�分。解�答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分已知在(1中0，.0)，．求△�；���+�=3�2sin(�−�)=sin�(1)设sin�，求边上的高．(2)��=5��18.本小题分如图，(在三棱1锥2.0)中，平面平面，，为的中点．证明：�−������⊥�����=�����(1)若��是⊥边�长�;为的等边三角形，点在棱上，，且二面角(2)△的��大�小为，1求三棱锥的�体积．����=2���−��−�45°�−���19.本小题分已知函(数12.0)．�讨论�(�的)=单�调�性；+�−�(1)证明：�(�当)时，．3(2)�>0�(�)>2ln�+2第页，共页34{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}20.本小题分设等差(数列12的.0公差)为，且令，记，分别为数列，2�+�的前项和．{��}��>1.��=����������若�，，求的通项公式(1)若3�2为=等3�差1数+列�3，且�3+�3=21，�求�;(2){��}�99−�99=99�.21.本小题分一种微(生物群1体2可.0以经)过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第代，经过一次繁殖后为第代，再经过一次繁殖后为第代，该微生物每代繁0殖的个数是相互独立的且有1相同的分布列，设表示个2微生……物个体繁殖下一代的个数，．�1已�知(�=�)=��(�=0,1,2,3)，求；(1)设表�示0=该0种.4微,�1生=物0经.3过,�2多=代0繁.2,殖�3后=临0近.1灭绝�的(�概)率，是关于的方程：(2)�的一个最小正实根，求证：当�时，�，当�0+23�1时�+，�2�+；�3�=��(�)≤1�=1�(�)>1根据�你<的1理解说明问结论的实际含义．(3)(2)22.本小题分已知点(在12双.0曲线)上，直线交于，两点，直线22��22的�(斜2,1率)之和为．�:�−�−1=1(�>1)������,求��的斜率；0(1)若�，求的面积．(2)tan∠���=22△���第页，共页44{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}数学答案和解析1-8.9.10.11.12.13.���1�4�.����1�5�.��（注�：�x�=0不和�题��意）16.335845+37[2,2)517.【答案】解：，，解得．..........1分�(1)∵�+�=3�∴�−�=3��=4可化为，即，���3�∴2sin(�−�)=sin�2sin(�−4)=sin(�−4−�)2sin(�−4)=sin(4−�)展开得：，整理得，..........3分222sin�−2cos�=cos�+sin�sin�=3cos�将代入2，得2，，．.....5分12210229310cos�=3sin�sin�+cos�=19sin�=1∴sin�=10sin�=由知，，，10310110�(2)(1)sin�=cos�=sin�=�=410310．..........7分�231021025∴sin�=sin�+4=2×10+2×10=5又，，..........9分25������sin�5×5∵=∴��==2=210sin�sin�sin�2边上的高．..........10分310∴1�8.�【答案】ℎ=证�明�：sin�=210，×10=6是以(1)为底的等∵�腰�三=角�形�，又为的中点，，..........2分∴平△面���平��面，且平面平∵面���，∴�平�面⊥��，平面，∵平面���，⊥���．......�.�..�.∩4分���=����⊂���∴��⊥���∵��⊂解�：�以�为∴坐��标⊥原�点�，为轴，为轴，垂直且过的直线为轴，建立空间直角坐标系．(2)是边�长为的等边三��角形�，���，���，�，..........6分∵△31���1∴�2,2,0�0,1,0�0,−1,0不妨设，点在棱上，， ，12��0,0,�(�>0)∵�����=2��∴�(0,3,3) ， .......7分42�33BEBC∴设向量=0,3,3 为平=面2,2的,0法向量，设�=，则�,�,�，��，�即..........8分22�=3�=−1�=��=3,−1,�显然是平面的法向量，二面角的大小为，，即→→|��·�|2→→OA=0,0,����∵�−��−�45°∴=2，解得舍去，..........10分|��|·|�|22|4|=2�·4+�2�=1(−1)数学答案第1页共4页{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgGhAAEIAAAyBFABAA=}#}．..........12分11133�−���△���∴1�9.【答案=】3解�：·OA′=3×2×2×2，×..1..=...6...1分�当时′(1)�(�)，=��在−1单调递减，当�=0时�(�)=，−1′<0�(，�)(−在∞,+∞)单调递减，�当�<0时，��令<′0�(�，)<0�(�)，(−∞,+∞)时，′，单调递减．�>0�时(�′)=0�，=−ln�单调�递∈增(−，∞故,−当ln�)时�(在�)<0�(�)单调递减，当�∈(−ln时�，,+∞)在�区间(�)>0�(�)单调递减，在区�间≤0�(�)(单−调∞递,+增∞．)..........5分�由>0知当�(�)时，(−∞在,区−间ln�)单调递减(−，l在n�区,+间∞)单调递增故(2)(1)�>0�(�)，(.−..∞..,.−..ln.�.7)分(−ln�,+∞).2min令�(�)=�−ln�=�+ln�+1，..........8分2321�(�)=�+ln�+1−2ln�+2=�−ln�−2′，令′，因为，故，在区间单调递减，在区间22�−1222�单(�调)递=增�，....�....(.�.)1=0分0�>0�=2�(�)(0,2)(2,+∞)，即时恒成立，即 ，即当223minmin�(�)=�2=−ln2>0�>0,�(�)>0�(�)>2ln�+2�>0时，．..........12分3�(�)>2ln�+220【.答案】解：因为，故，即，故，所以2�+�3�2=3�1+�33�=�3=�1+2��1=���=????��==，，..........2分????�+1�(�+1)����=，又2，即，即，故或舍，�(�+3)3×4�3×621�33�故=的2�通项公式�为+：�=21....2...+...24�分=212�−7�+3=0�=3�=2(){方��法}一：基本量法��=3�.(若2)为等差(数列，则)，即，即，所以2×31×23×422�213111或{�}.........2.�6分=�+�2×�1+�=�1+�1+2��−3��+2�=0�=1�当�=2时�，;，，故，，又，�+1�(�+1)��(�+3)1����9999�=��=????�=��=�=2��−�=99即，即2，所以或舍..........8分99⋅100�99⋅1022512−2�=9950�−�−51=0�=50�=−1();当时，，，故，，又，��(�+3)��(�+1)1����9999�=2��=(�+1)��=��=�=2��−�=99即，即，所2以舍或舍..........10分99⋅102�99⋅1002502−2�=9951�−�−50=0�=−51()�=1();数学答案第2页共4页{#{QQABYYwQggCAQABAABhCQQGCCACQkACAAIgG