2023~2024学年第一学期高三期初调研测试数学2023.09注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设集合，，则（）A. B. C. D.3.已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（）A. B. C. D.5.已知事件A，B，且，.若A与B互斥，令；若A与B相互独立，令，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.66.若某圆柱体的底面半径与某球体的半径相等，圆柱体与球体的体积之比和它们的表面积之比的比值相等，则该圆柱体的高与球体的半径的比值为（）A. B. C. D.27.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（）A. B. C. D.8.已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知函数的最小正周期为，则（）A. B.直线是曲线的一条对称轴C.点是曲线的一个对称中心 D.在区间内只有一个零点10.若一组不完全相同的数据，，…，的平均数为，极差为a，中位数为b，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，…，，其平均数为，极差为，中位数为，方差为，则下列判断一定正确的是（）A. B. C. D.11.如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是线段AC，上的动点，，，且.记EF与所成角为，EF与平面ABCD所成角为，则（）A.当时，四面体的体积为定值B.当时，存在，使得平面C.对于任意，，总有D.当时，在侧面内总存在一点P，使得12.已知函数定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，函数在区间上单调递增，则（）A. B.C. D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.的展开式常数项是______.（用数字作答）14.已知是等差数列的前n项和，且，，则______.15.请写出一条同时满足下列两个条件的直线方程：______.①过抛物线的焦点；②与圆相交所得的弦长为.16.已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是______；的值为______.四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角C；（2）若的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长.18.（本小题满分12分）已知等比数列中，.（1）求数列的通项公式及它的前n项和；（2）设，数列的前n项和为，求证：.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，，M为BC的中点.（1）求证：平面PDB；（2）求平面PAM与平面PBM夹角的余弦值.20.（本小题满分12分）某校为了弘扬中华优秀传统文化，在校艺术节上举办班级“古诗词双人团体赛”，每班限报一队，每队两人，每队通过回答多个问题的形式进行竞赛.现甲，乙两队进行竞答比赛，比赛规则是：每轮比赛中每队仅派一人代表答题，两人都全部答对或者都没有全部答对则均记1分；一人全部答对而另一人没有全部答对，则全部答对的队伍记3分，没有全部答对的记0分.设每轮比赛中甲队全部答对的概率为，乙队全部答对的概率为，甲，乙两队答题相互独立，且每轮比赛互不影响.（1）经过1轮比赛，设甲队的得分为X，求X的分布列和期望；（2）若比赛采取3轮制，请计算第3轮比赛后甲队累计得分低于乙队累计得分的概率.21.（本小题满分12分）已知椭圆E：，四点，，，中恰有三点在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）点P为椭圆E上的一动点，设直线PA，PB的斜率分别为，.①求的值；②若不与坐标轴垂直的直线l交椭圆E于M，N两点，O为坐标原点，，，求的面积.22.（本小题满分12分）已知函数，，.（1）若函数与有相同的极小值点，求a的值；（2）若对任意，恒有，求a的取值范围.参考答案一、单项选择题1.【答案】D【解析】，∴，位于第四象限，选D.2.【答案】C【解析】，，，选C.3.【答案】B【解析】时，，，∴在，充分，在单调增，∴，∴，不必要，充分不必要，选B.4.【答案】A【解析】，，选A.5.【答案】A【解析】A，B互斥，∴，A与B独立，，，选A.6.【答案】B【解析】设圆柱底面半径为r，则球的半径为r，设圆柱的高为h，，，，，∴，∴，选B.7.【答案】A【解析】，∴，，又，∴，∴，，，选A.8.【答案】B【解析】，∴，，，，，∴，∴，∴，∴，选B.二、多项选择题9.【答案】ACD【解析】，，∴，A对.，不是对称轴，是对称中心，B错，C对.，，，在只有一个零点，∴在有且只有一个零点，D对.10.【答案】AB【解析】互不相等的数据加入一个数，则极差不变，平均数不变，中位数有可能改变，方差一定改变，选AB.11.【答案】ABC【解析】方法一：时为定值F到平面EAB的距离为定值，∴为定值，A对.时，F为中点，取AD中点M，则.时，，则平面平面，∴平面，面ABCD，则，C对，选ABC.方法二：对于A，时，F到平面AEB的距离为定值，E为AC中点，为定值，A正确.对于B，时，F为的中点，设AC与BD交于点O，当E为OA中点时，取OD中点G，此时，，∴平面，B正确.对于C，过F作于点M，∴平面ABCD，∴，，，C正确.对于D，如图建系，∴，，设，，，，，，∴PE与PF始终成锐角，D错，选ABC.12.【答案】ABD【解析】对于A，∵是奇函数，∴，A正确.对于B，是奇函数，∴，∴，B正确.对于C，，，∴，∴，C错.对于D，由知关于直线对称，∵在上，∴在上，，当且仅当时取“＝”，而，∴，D正确.选：ABD.三、填空题13.【答案】7【解析】展开式第项，，，，.14.【答案】－55【解析】，∴，.15.【答案】或【解析】圆，圆心，，弦长为，圆心到直线距离为1，斜率不存在，满足条件.斜率存在，设，即，，，此时l：，∴l：或。16.【答案】；1【解析】由，令，∴，令，，当时，，；当时，，，作出大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点，（*）式关于t的一元二次方程有两个不等的实根，，其中，，令，∴，且，，，∴，应填：；1.四、解答题17.【解析】（1），，.（2），∴，∴，而，，.18.【解析】（1）设公比为q，∵，∴，，∴，，∴，.（2），∴.19.【解析】（1）证明：在矩形ABCD中，，，∴，∴，设AM与BD交于O点，∴，∴，又∵平面ABCD，∴，，∴平面PDB.（2）如图建系，∴，，，.∴，，，设平面PAM与平面PBM的一个法向量分别为，，∴，，设平面PAM与平面PBM所成角为，∴.20.【解析】（1）X的所有可能取值为0，1，3，，，，∴X的分布列如下：X013P.（2）甲队累计得分低于乙的情形为：①甲至少有2场负于乙；②甲有一场负于乙，另两场打平.所求概率为：.21.【解析】（1）显然A，B在E上，D不可能在E上，C在E上，∴，，∴椭圆E的方程为.（2）①设，∴，.②∵，，∴，设，，∴，即，且，∴.22.【解析】（1）①当时，在上，在上，与均无极小值，舍去；②当时，，当时，，；当时，，，∴的极小值点为.，令，当，，；当时，，，∴的极小值点为，∵与有相同的极小值点，∴，而，当且仅当时取“＝”，∴，.（2）方法一：由，令，由，而，易得在上，∴对恒成立，∴.方法二：由对恒成立，令，∴，，，，（必要性）下证充分性，当时，时，∴在上，，符合.综上：.