高三数学考试参考答案!!#!!解析本题考查集合的交集#考查数学运算的核心素养!由$!#%###&#得$$$$!#&%!'!(!!解析本题考查复数的运算$共轭复数$复平面#考查数学运算的核心素养!因为%$')*#所以*%$*$'+*%$)!+'*#则*%在复平面内对应的点位于第二象限!&!(!!解析本题考查等比数列的定义#考查逻辑推理的核心素养!!'!'+!!'!!'+!因为&'+&'+!$$)%+$)%$$)%$!)%$)$)%#所以!&'+&'+!的首'''''!&'+!+&'+'!!项为)#且$)#所以!&'+&'+!是公比为)的等比数列!,&'+&'+!'',!-!!解析本题考查二项式定理#考查数学运算的核心素养!.'&&'&$'#)(%的展开式中##(的系数为-./'/$)!%$),%!.!-!!解析本题考查台体的体积#考查应用意识!依题意可得该牛皮鼓的体积可视为两个相同的圆台$上底面半径为'.01#下底面半径为!&%01#高为&%01%的体积之和#所以该牛皮鼓的体积为'/!/&%/$'.'+'./&%+&%'%&$,..%%!01&!2!3!!解析本题考查对数大小的比较#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!&!!&&因为$456&&槡&#&$456&2#456&7$'#)$456$456,8$456'''$#所以*&&&)!',8'!3!!解析本题考查导数的几何意义及直线的倾斜角#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!(+$&#'),##则,的斜率为&-'),-!因为,的倾斜角小于!&.9#所以,的斜率小于)!或不!,小于%#则&-'),-#)!或&-'),-'%#解得-($):#%&)$#!%)'#+:%!&&8!3!!解析本题考查椭圆的定义与性质#考查直观想象的核心素养!+*+*如图#连接.!/#由$.'$'.'/#得0.'$,.'/#设.'/$1#则0.'$,1#0.!$'&),1#/.!$'&)1!由余弦定理得''''/.!$0.!+0/)'0.!0/05;,.!0/#即$'&)1%'&),1.$$'&),1%'+$.1%')'$'&),1%/.1/#整理得1$&#则,1!,''''槡'!').!.'槡'!.!.'$槡$,1%)$'&),1%$槡!2&1),&$&#故2$$$!'&'&7!(-3!!解析本题考查三角函数的图象及其性质$三角恒等变换#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!!.!&!.!因为3$#%$;*<$#+%#所以3$#%的最小正周期为'!!因为3$%$;*<$)!#3$)%,,',!高三数学参考答案!第!!页#共页$%书.!.!$;*<$)!%$%#所以3$#%的图象关于直线#$对称#3$#%的图象关于点$)#%%对称!,,!!3$#%+3$)#%$;*<$#+%+;*<$)#+%$槡'05;#!,,!%!#-3!!解析本题考查统计中的极差$中位数$平均数$方差$百分位数#考查数据处理能力与推理论证能力!对于#选项#如果删去的不是最大值或最小值#那么极差不变#所以#正确!对于(选项#删除前有2个数据#中位数是按从小到大的顺序排列后中间两个数的平均数#因为任何两个数据都不相等#所以中位数不会等于2个数据中的任何一个#而删除后有.个数据#中位数是2个数据中的某一个#所以(错误!对于-选项#平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数#在方差公式中#分子不变#分母变小#所以方差变大#所以-正确!对于3选项#平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数#在按从小到大的顺序排列的2个数据中#因为2/'%=$!>'#./'%=$!#所以原数据的'%=分位数是第'个数#新数据的'%=分位数是前'个数的平均数#且该数值小于第'个数#所以3正确!!!!(-!!解析本题考查抽象函数与具体函数的奇偶性#考查逻辑推理与数学抽象的核心素养!令#$($%#得3$%%$%#令($%#得3$#%$#3$%%$%#则3$)#%$3$#%$)3$#%$%#所以3$#%既是奇函数又是偶函数!由4$#+!%$$#+!%$#'+'#%$$#+!%'$#+!%')!&#得4$#%$#&)##因为4$)#%$)4$#%#所以4$#%是奇函数!!'!#-3!!解析本题考查立体几何初步中的体积$距离$二面角#考查空间想象能力与运算求解能力!如图#取56的中点7#连接87#因为平面568-平面569#且平面568$平面569$56#所以87-平面569!取59的中点:#连接6:#因为56$69#所以6:-59#则6:$槡56')5:'$'槡'!因为槡&&槡&87$&/$#''!&槡&!所以;9)568$///'/'槡'$槡2##正确!取5:的中点.#连接.7#8.#则.7&''.6:#所以.7-59!因为87-平面569#所以87-59#又87$.7$7#所以59-平''槡&.面8.7#则59-8.#则8.$槡87+.7$#,8.7为二面角6)59)8的平面角#'87&槡2且?@<,8.7$$#(错误#-正确!设/569#/568的外心分别为<#$#则7<-.7,56#又平面569-平面568#所以7<-平面568!设三棱锥9)568外接球的球心为!=#则=<-平面569#=$-平面568#所以四边形=$7<为矩形#则=<$$7$87$&!高三数学参考答案!第!'页#共页$%槡&槡&!故三棱锥9)568外接球的球心到平面569的距离为#3正确!''!&!,槡'!!解析本题考查双曲线的性质#考查数学运算的核心素养!依题意可得')$2#'&$'#则)$&#&$!#所以该双曲线的虚轴长为'*$'槡)')&'$,槡'!'!,!!!解析本题考查投影向量与平面向量的基本定理#考查直观想象的核心素养!&+*+*!+*+*+*!+*在矩形5689中#因为向量5:在向量59上的投影向量为59#所以5:$56+59#又&&+*!+*!+*+*+*+*!+*!+*!!'5=$56+59#所以=:$5:)5=$56)59#所以!)$+$!'''2'2&!.!('$!)'#!!解析本题考查圆与圆的位置关系$直线与圆的位置关系#考查直观想象与数学运算的核心素养!设$$##(%#点$到直线#$'的距离为>#如图#$只能在直线#$'的左侧#则>$')##依题意可得$=+!$>#即槡#'+('$$')#%)!#化简可得('$!)'##故圆$的圆心的轨迹方程为('$!)'#!!)槡.!2!!!解析本题考查三角恒等变换与导数的应用#考查数学建模与数学运算的核心'素养!'##+#&设?@<#$##则#&!#?@<'#)?@<#$)#$!!)#'!)#'#+#&)#,+,#'+!$#')槡.)'%$#'+槡.)'%设函数3$#%$'$#&!%#则3+$#%$''$)''$#&!%!!)#$!)#%$!)#%当!##'#槡.+'时#3+$#%&%(当#'&槡.+'时#3+$#%#%!所以当#'$槡.+'时#3$#%取得最大值#即?@<'#)?@<#取得最大值#?@<'#''!)槡.此时$'$$!?@<#!)#!)$槡.+'%'+*+*+*+*:9!.6!!!$!%证明)因为:9!$'8!:#.6!$'8!.#所以$$'#8!:8!.所以:..6!9!#…………………………………………………'分因为6!9!0平面8:.#:.1平面8:.#所以6!9!.平面8:.!…………………………………………………………………,分$'%解)如图#以9为坐标原点建立空间直角坐标系9#(%#设56$&#&&则5$&#%#%%#8$%#&#%%#=$##&%#:$%#'#&%#.$!#&#&%#…………………………….分''+*+*8:$$%#)!#&%#:.$$!#!#%%!……………………………………………………………2分!高三数学参考答案!第!&页#共页$%+*38:*!$)(+&%$%#$##%#设平面8:.的法向量为!$#(%则2+*……………………分4:.*!$#+($%#令#$&#得!$$&#)&#)!%#……………………………………………………………8分+*+*&&+*5=*!)!'8因为5=$$)##&%#所以05;+5=#!,$+*$$)!……7分''5=!&槡2槡!!,/槡!7'82,&'所以直线5=与平面8:.所成角的正弦值为#其平方为$!……………!%分槡!!,!!,.评分细则)-!.第$!%问中#未写/6!9!0平面8:.#:.1平面8:.0扣!分!-'.第$'%问中#建系方式不唯一#平面8:.的法向量不唯一#如果建系的方式相同#那么只要所求法向量与!$$&#)&#)!%共线即可!!!8!解)$!%在/568中#5+6+8$!#因为5+6$!!8#所以8$#……………………!分!'!!槡'槡&!槡2)槡'则;*<8$;*<$)%$/$)%$!……………………………………&分&,''',,&因为05;5$#所以;*<5$#…………………………………………………………,分..685656;*<5!'由正弦定理得$#则68$$!……………………………………2分;*<5;*<8;*<8.!!$'%由$!%知8$#则5$'8$#………………………………………………………分!'2在/59:中#由余弦定理得9:'$5:'+59')'5:*5905;5#……………………8分'槡&代入数据#得$&+59)'槡&59/#解得59$,$59$)!舍去%#……………!%分'!!槡&!所以/69:的面积为5:*59*;*<5)5:*56*;*<5$//',)$槡2)槡'%&'''',槡&)&槡'+槡2$!…………………………………………………………………………!'分,评分细则)56;*<5-!.第$!%问中#若68最后的结果计算错误#但得到68$#只扣!分!;*<8&槡')槡2-'.第$'%问中#最后的结果写为槡&)#不扣分!,!7!解)$!%用$表示事件/测试者提出的两个问题相同0#表示事件/测试者对机器产生误判0#则0$%$0$$%+0$$5%$0$$%0$$%+0$$5%0$$5%………………&分$%>2/%>!+$!)%>2%/%>&.$%>'!…………………………………………………….分$'%设?为,名测试者中产生误判的人数#由$!%可知#?6$,#%>'%#…………………分若机器通过本轮的图灵测试#则,名测试者中至少有'名产生误判#…………………8分!高三数学参考答案!第!,页#共页$%%%,所以机器5通过图灵测试的概率0$!)0$?$%%)0$?$!%$!)-,/%>'/$!)%>'%!&)-,/%>'/$!)%>'%$%>!8%8!………………………………………………………!'分评分细则)-!.第$!%问中#得到/0$%$0$$%0$$%+0$$5%0$$5%0#但未写/0$%$0$$%+0$$5%0#不扣分!%%,!&-'.第$'%问中#得到/0$!)-,/%>'/$!)%>'%)-,/%>'/$!)%>'%$%>!8%80#但未写/,名测试者中至少有'名产生误判0#不扣分!第$'%问还可以用直接法求解#解析如下)设?为,名测试者中产生误判的人数#由$!%可知#?6$,#%>'%#……………………分若机器5通过本轮的图灵测试#则,名测试者中至少有'名产生误判#………………8分''所以机器5通过图灵测试的概率0$0$?$'%+0$?$&%+0$?$,%$-,/%>'/$!)'&&,,%>'%+-,/%>'/$!)%>'%+-,/%>'$%>!8%8!……………………………………!'分'%!$!%证明)当'$!时#@'+@!$,#则&'+'&!$,#因为&!$!#所以&'$'!……………!分''当'''时#由@'+!+@'$$'+!%#得@'+@')!$'#两式相减得&'+!+&'$''+!!……………………………………………………………………………………………………'分6又&!+&'$&$'/!+!#所以当'(!时#&'+!+&'$''+!!…………………………&分$'%解)&'+')&