大理市辖区2024届高中毕业生区域性规模化统一检测数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案CAACDDBB【解析】1．由UUAAB{2，，46}，∴(){2}，故选C．2．abab2i1i，，∴12，∴z12i，∴z12i，故选A．3．令x1得aaaaaa0123450，故选A．4．由方程知，渐近线方程为yx3，它们交成的两对对顶角为60和120，所以两条渐近线的夹角为60，故选C．21x5．注意到函数f()x的定义域为R，且gx()是奇函数，所以只需hx()sinxm为奇函21x21x数，h(0)0得m0．反之，当m0时，显然fx()sinx是偶函数，故选m0，21x故选D．6．记事件A表示“小孩诚实”，事件B表示“小孩说谎”，已知PB(|)A0.1，PB(|)A0.5，PA()0.9，PA()0.1，PB()PAB()PAB()PAPB()(|A)PAPB()(|A)0.90.1PAB()90.10.50.14，PAB()PAPB()(|A)0.90.10.09，PAB(|)，故选D．PB()14fa()2+1a7．对于A：nn11常数，所以f()xx21不是保等比数列函数；对于B：fa()nn2+1a1fa()||||aa1nn11==||nq为常数，所以fx()是保等比数列函数；对于C：1fa()nn|a1|||x||anfa()ean1n1eaann1常数，所以fx()ex不是保等比数列函数；对于D：anfa()nefa(nnn1313)log|a|log|aq|log3|q|1常数，所以f()xxlog|3|不是保等比数fa(nn)log33|a|log|an|log3|an|列函数，故选B．数学参考答案·第1页（共9页）{#{QQABaQCEggAAAgBAAAgCAQkiCEEQkAEAAKoOABAMMAAAARNABCA=}#}x8．易知函数y1cos的周期为4π，所以圆柱的底面圆的周长为4π，所以圆的直径为4，2x据题意可知该椭圆的短轴长为24b，所以b2，又函数y1cos的最大值为2，所以215椭圆的长轴长为242255aac221，所以椭圆的离心率e，55故选B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ADACDBCABD【解析】2359111210aa73329．由表格数据得，x6，y，将样本中心点55532a32a6，代入回归直线方程yx110.5得，110.56，解得a8，则样本中55心点为(6，8)，所以选项A正确；对选项B，当变量x增加，变量y相应值减少，两个变量之间呈负相关关系，所以选项B错误；对选项C，由经验回归方程yx110.5，令x7，得预测值y7.5，而预测值不一定等于观测值，所以选项C错误；对选项D，由残差定义知，观测值减去预测值为残差．由经验回归方程yx110.5，令x11，得预测值y5.5，则相应于(11，3)的残差为35.52.5，所以选项D正确，故选AD．ab10．∵123，124，∴alog1230，blog1240，∴ablog123log124log12121，blog4ab21对于：12，所以正确；对于：，故Alog334log31ABabBalog1232411错误；对于C：∵a22b()21212ab2abab，故C正确；对于D：421∵ab211a，∴22ab1，故D正确，故选ACD．223211．设切点为()()3x00，，yfxxm，切线的方程为yxmxxmxx()(3)()0000，代入3232点P(11)，，可得1(x00mx)(3x0m)(1x0)，即23xxm001．因为切线过点数学参考答案·第2页（共9页）{#{QQABaQCEggAAAgBAAAgCAQkiCEEQkAEAAKoOABAMMAAAARNABCA=}#}32P(11)，恰能作3条曲线yfx()的切线，所以方程23xxm001有3解．令函数gx()2x323x，g()x6(xx1)．当x1或x0时，gx()0；当10x时，gx()0，所以g()x在(1)，和(0，)上单调递增，在(10)，上单调递减，所以g()x的极大值为g(1)1，g()x的极小值为g(0)0，所以011m，解得12m，故选BC．12．对于A中，在正方体ABCDA111BCD1中，如图1，连接A111BAC，，连接AB1，在正方形ABB11A中，可得ABAB11，由AD平面ABB11A，A1B平面ABB11A，所以ADA1B，因为ADABA1且AD，平面AB1ABD1，所以A1B平面ABD1，又因为BD1平面ABD1，所以A11BBD，连接B11D，同理可证AC11平面B11DD，因为B1D平面B11DD，所以A11CBD1，因为A1111BACA且AB111，AC平面A11BC，所以B1D平面A11BC，因为A1P平面A11BC，所以BD11AP，所以A正确；对于B中，无论点P如何在线段BC1上运动始终在平面BCD1上，易得平面BCD1∥平面ABD11，因此DP∥平面ABD11，所以B正确；对于C中，分别连接ACADCD，11，，在正方体ABCDA111BCD1，因为A11BCD∥，AB1平面ACD1，CD1平面ACD1，所以A1B∥平面ACD1，同理可证：BC1∥平面ACD1，因为A11BBCB且AB11，平面BCA11BC，所以平面A11BC∥平面ACD1，因为BC1平面A11BC，所以BC1∥平面ACD1，又因为P是BC1上的一动点，所以点P到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离，且为定值，因为△ACD1的面积为定值，2所以三棱锥PACD的体积为定值，且VV，所以C不正确；对于D1PACD11DABC3中，将△BCC1绕着BC1展开，使得平面A11BC与平面BCC1重合，如图2所示，连接A1C，当P为A1C和BC1的交点时，即P为BC1的中点时，即A11CBC时，A1PPC取得最小值，因为正方体ABCDA111BCD1中，AA12，可得AB1111BCAC2，BCCC12，在等边△A11BC中，可得AP13，在直角△BCC1中，可得CP1，所以A1PPC的最小值为31，所以D正确，故选ABD．数学参考答案·第3页（共9页）{#{QQABaQCEggAAAgBAAAgCAQkiCEEQkAEAAKoOABAMMAAAARNABCA=}#}三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号1314151624f()xx（答案不7答案2050025唯一）5【解析】44sinA，tanA，513．由题设知，角A为锐角，从而3解得所以223sinAAcos1，cosA，524sin2AAA2sincos．2514．若f()xaxb，则由fx(2)()2fx，得ax22abaxb，得a1，与b无关．若取b0，则f()xx，故填f()xx（答案不唯一）．||8ab，||abab22||264，①15．由得解之得ab7，代入①得：||ab22||50，22||6ab，||abab||236，②ab7③，又||||ab，代入③得：||||5ab，所以||cosaab，，故a在b上投影向||b577b7量的模为，故填．55||b516．由题意知，抛物线C过点P(250，156.25)，设抛物线Cx：22(pyp0)，所以25022156.25p，解得：p200，即抛物线C的方程为x2400y．所以，焦点F(0，，100)xy2400，156.2510099kPQ；所以PQ的方程为yx100，联立方程组9消2504040yx100，409y得xx290400000，xx90，所以yy()200220.25xx，所以12124012|004000|4000|PQ|y12yp420.25．又原点O到直线PQ的距离d，所以9402241114000△OPQ的面积为|PQ|d420.2520500．2241四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）2311π1解：（1）由已知，fx()3sinxxcossinxsin2xcos2xsin2x，22262数学参考答案·第4页（共9页）{#{QQABaQCEggAAAgBAAAgCAQkiCEEQkAEAAKoOABAMMAAAARNABCA=}#}3π13∵fA()，∴fA()sin2A，2622π即sin2A1，6ππ11π∵0πA，∴2A，666πππ∴2A，∴A．………………………………………………………（5分）623（2）如图4，sinCB2sin，cb2，∵AD平分BAC，π∴BADCAD，6∵SSS△△ABDADC△ABC，图31π1π1π∴cbbc2sin2sinsin，262623111113∴22bbbb22，222222∴b3，11333故△ABC的面积SABACAsin323．2222……………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）设等差数列{}an的首项为a1，公差为d0，22又a2是a1和a5的等比中项，得aaa215，即()(4)ad111aad，即da21，①*又aan2nn21()N，取n1时，aa2121，即ad121a1，②将①②联立解得a11，d2，ann21．……………………………………………………………（4分）n1（2）因为ab11ab22abnn(2n3)26，n所以ab11ab22ann1b1(2n5)26(n≥2)，nnn1两式相减得：abnn(2n3)26(2n5)26(2n1)2(n≥2)，n*又ab112满足上式，所以abnn(2n1)2(nN)，数学参考答案·第5页（共9页）{#{QQABaQCEggAAAgBAAAgCAQkiCEEQkAEAAKoOABAMMAAAARNABCA=}#}n又ann21，所以bn2．nn12n所以Tnnn123252(23)4(21)2，nnn112123252Tnnn(23)8(21)4，nnn11两式相减得：Tnn2228(21)282n22(21)23246nn11nn．……………………………（12分）1219．（本小题满分12分）1(P≤≤)解：（1）由题意可知60，，则10P(70)0.15865，2所以，这6人中至少有一人进入面试的概率P1