舒适练习003（解析版）一、单选题1．设集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别化简集合，利用交集定义求解即可．【详解】集合集合，则，故选：D2．已知复数，则（    ）A． B． C． D．10【答案】B【分析】根据复数的除法运算得到，从而得到，再由复数模长的定义即可求解.【详解】因为，所以，则.故选：B.3．下图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的分位数为（    ）A．75 B．77.5 C．78 D．78.5【答案】D【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为,所以第分位数位于之间，设为，则，解得，所以第分位数为.故选：D4．已知向量，满足，且，记为在方向上的投影向量，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】先根据投影向量的定义求出，再根据平面向量的模的坐标公式即可得解.【详解】由，得，由为在方向上的投影向量，得，所以，.故选：B.5．已知偶函数在上单调递增，则对实数、，“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】直接利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为偶函数在上单调递增，若，则，而等价于，故充分必要；故选：C6．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0【答案】B【详解】依题意，点在圆上，且为切点，因为圆心与切点连线的斜率为，所以切线的斜率，故圆的切线方程为，即，故选B.7．设，，则A． B．C． D．【答案】B【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．详解：.,即又即故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．8．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面，，，分别在棱，上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得平面，即可得到，从而得到平面，又外接圆的直径即可直角三角形的斜边，即可得到即为三棱锥外接球的直径，从而求出外接球的体积.【详解】因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又，所以外接圆的直径即可直角三角形的斜边，又平面，，所以即为三棱锥外接球的直径，所以三棱锥外接球的半径，所以外接球的体积.故选：C二、多选题9．已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则(    )A．曲线y=f(x)关于直线对称 B．函数y=f()是奇函数C．函数y=f(x)在(,)单调递减 D．函数y=f(x)的值域为[-2,2]【答案】ABD【分析】用辅助角公式化简,再利用,得出的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】,所以函数的值域为,故D正确；因为,所以,所以，因为,所以,所以，所以,即，所以，因为，所以曲线关于直线对称,故A正确；因为即，所以函数是奇函数,故B正确；取,则最小正周期,故C错误.故选：ABD10．如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，则（    ）A．CD⊥平面ABC B．AC与BE所成角的大小为 C． D．该六面体外接球的表面积为3π【答案】ACD【分析】利用线面垂直的判定定理、空间向量以及球的表面积公式进行计算求解.【详解】因为CA＝CB＝CD＝1，BD＝AD＝，所以，即又，所以CD⊥平面ABC，故A正确；因为CD⊥平面ABC，如图，建立空间之间坐标系，因为CA＝CB＝CD＝1，所以四面体是正三棱锥，因为AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，所以四面体是正四面体，在正三棱锥中过点C作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，同理，在正四面体中，过顶点作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，所以，三点共线；因为，因为正三角形的中心，所以，设，因为在正四面体中，，在正三棱锥中，，所以，解得，所以，所以，又，所以，故AC与BE所成角的大小为，故B错误；因为，所以，故C正确；  显然，该六面体外接球的球心位于线段的中点，因为，所以六面体外接球的半径，所以该六面体外接球的表面积为，故D正确.故选：ACD.11．某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则下列结论中正确的是（    ）A． B．数列为等比数列C． D．当时，越大，越小【答案】BC【分析】根据第次中奖的两种情况，可计算求得A错误；根据，变形整理可证得数列为等比数列，知B正确；由等比数列通项公式可推导求得，分别在为奇数和为偶数的情况下讨论，可得C正确；通过反例可说明D错误.【详解】对于A，，A错误；对于B，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；对于C，由B得：，；当为奇数时，，；当为偶数时，；，，C正确；对于D，，，，即，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查概率与数列的综合应用问题，解题关键是能够根据题意确定与所满足的递推关系式，从而利用数列求通项的方法，根据递推关系式构造出等比数列求解出.12．设O为坐标原点，，是双曲线的焦点．若在双曲线上存在点P，满足，，则（    ）A．双曲线的方程可以是B．双曲线的渐近线方程是C．双曲线的离心率为D．的面积为【答案】BC【分析】根据，可得双曲线的离心率及的值，从而可判断A、B、C、D的正误.【详解】如图，∵O为的中点，∴，∴，即，又∵．∴．①又由双曲线的定义得，∴，即．②由①-②得，∴．在中，由余弦定理得，∴，即．又∵，∴，即，.又双曲线的渐近线方程为．双曲线的离心率为，双曲线的方程可以是，故A错，B正确，C正确.的面积，故D错误．故选：BC.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，对于与焦点三角形有关的面积、长度等计算，注意利用其几何性质来帮助解决，本题属于中档题.三、填空题13．已知，则.【答案】132【分析】利用换元思想，简化等式，再按照二项式定理展开，可得的系数即是的值.【详解】令，则，则可转化为：，即，所以，所以，故答案为：132.14．已知在数列中，，，则．【答案】【分析】根据递推关系得到、、......、及、，......、，进而得，即可求值.【详解】由，，，，，，，，......,所以，，即，同理得、......、；，即，同理得，......、；综上，.故答案为：15．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为.【答案】9【分析】先根据函数图象过定点，求出点，依据点在直线上，找出，的关系，最后利用基本不等式求出的最小值．【详解】∵恒过定点，∴过定点∴，即，∴≥，当且仅当即时等号成立，∴所以的最小值为9，故答案为：9.四、双空题16．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，且，，，则的标准方程为；若过点的直线与椭圆交于两点，且点关于点对称，则的方程为.【答案】【分析】记椭圆的半焦距为，根据椭圆的定义，由题中条件，得到；再由勾股定理，根据，求出，得到，即得椭圆方程；设，，根据题中条件，由中点坐标公式，得出，再将坐标代入椭圆方程，两式作差整理，求出直线的斜率，即可求出直线方程.【详解】记椭圆的半焦距为，根据椭圆的定义可得，，则，又，则，所以，则；所以，因此椭圆的方程为；设，，因为点关于点对称，所以；由题意可得，两式作差可得，则，所以直线的方程为，即.故答案为：；.【点睛】思路点睛：求解椭圆中的中点弦问题时，一般需要先设弦端点的坐标，代入椭圆方程，两式作差整理，求出弦所在直线方程，进而即可求解.