2023-2024学年上学期东北师大附中（数学）科试卷高三年级第一次摸底考试注意事项：1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. C. D.2.已知条件，条件，则是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.方程的根所在区间是（）A. B. C. D.4.函数在点处的切线斜率是（）A. B.2 C. D.15.若，，，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.6.8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，位道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（）（参考数值：）A. B. C. D.7.下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.8.定义域为的函数的导函数记作，满足，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设，为正实数，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.10.已知，下列说法正确的是（）A.时，B.若方程有两个根，则C.若直线与有两个交点，则或D.函数有3个零点11.已知，则下列不等关系正确的是（）A. B.C. D.12.已知函数的定义域为，并且对，都有，则下列说法正确的是（）A.的图象关于对称B.函数为偶函数C.D若时，，则时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数在处的切线的方程为______.14.若在内存在极值，则实数的取值范围是__________．15.已知，，，则的最小值为__________．16.不等式对都成立，则实数的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.函数的定义域为，对于，，，且当时，．（1）证明：为减函数；（2）若，求不等式解集．18.已知各项均为正数的数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，求．19.吉林省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人），该校为了解高一年级学生对物理、历史的选科情况，采用比例分配的分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，其中选择历史的男生有40人，选择物理的女生有30人．（1）利用以上信息完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与选择科目有关？性别选择物理选择历史总计男生女生总计（2）某个外语学习小组共有7人，其中有3人选择了历史，4人选择了物理，随机抽取4人进行对话练习，用表示抽中的4人中，选择历史的同学人数，求的分布列及期望．附：，其中0.1000.0500.02500100.0050.0012.7063.8415.02466357.87910.82820.长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．（1）求证：；（2）点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．21.椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．22.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数，求证：当时，．