项城三高2023-2024学年度上期第一次考试高三数学试卷普（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合A，B的并集，根据补集的概念和运算，即可得出答案.【详解】由题意知，，所以.故选：B2.命题：“，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；【详解】解：命题：“，”为全称量词命题，其否定为：；故选：D3.已知，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质判断各选项．【详解】对于A，当时，如，时成立，故A错误；对于B，当，显然，但，故B错误；对于C，当时，显然，但，故C错误；对于D，，则，故D正确．故选：D．4.不等式的解集为（）A B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可得答案.【详解】不等式变形为，即，所以不等式的解集为：，即为.故选：A5.若函数，则（ ）A. B.2C. D.4【答案】A【解析】【分析】根据给定的函数，分段判断代入计算作答.【详解】函数，则，所以.故选：A6.函数，的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】计算的值即可判断AB选项，通过函数奇偶性的判断与证明即可判断CD选项.【详解】，故AB错误，的定义域为，关于原点对称，且，故为偶函数，故C错误，D正确，故选：D.7.已知正数a，b满足，则的最小值为（）A.8 B.10 C.9 D.6【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即，时取等号，故选：A8.已知函数是上的偶函数，当，且时，有．设，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断的单调性，再由偶函数的性质结合得出.【详解】由题意可知在上单调递减，且，，．又，，，且，故，所以，即．故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题中是真命题的是（）A.且是的充要条件B.是的充分不必要条件C.是有实数解的充要条件D.三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形【答案】BD【解析】【分析】A选项，可举出反例；BD可推导出正确；C选项，根据一元二次方程有解，满足，故C错误.【详解】A选项，当时，满足，但不满足且，故且不是的充要条件，A错误；B选项，因为，但，故是的充分不必要条件，B正确；C选项，有实数解，则要满足，故C错误；D选项，三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形，反之，若一个三角形是直角三角形，则三边满足勾股定理，故三角形三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形，D正确.故选：BD10.欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，就称函数为倒函数，则下列函数是倒函数的为（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】抓住，的特征及，逐项判断即可.【详解】对，，定义域不关于原点对称，故A项不符合；对，，，故B项符合；对，，定义域不关于原点对称，故C项不符合；对，定义域关于原点对称，当时，，；当时，，，故D项符合，故选：BD11.已知实数，，满足，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小.【详解】A选项：为单调减函数，所以；B选项：与，当时，当时，所以；C选项：在时，而在时，所以；D选项：在上单调递增，所以；故选：BC.【点睛】本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.12.已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（）A.函数关于直线对称B.4是函数的周期C.D.方程恰有4不同的根【答案】ABD【解析】【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：因为是偶函数，所以，即所以关于对称，故A正确.对于B：因为，所以，所以，即周期，故B正确对于C：所以，故C错误；对于D：因为，且关于直线对称，根据对称性可以作出上的图象，又，根据对称性，可作出上的图象，又的周期，作出图象与图象，如下图所示：所以与有4个交点，故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数在单调递减，则实数_________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数定义与性质列式求解即可.【详解】由题意可得：，解得.故答案为：.14.＝________.【答案】【解析】【分析】根据指数的运算法则，结合对数式与指数式的恒等式进行求解即可.【详解】，故答案为：15.已知函数为上的奇函数，当时，，则___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，然后再结合奇函数的性质可求得结果.【详解】因为函数为上的奇函数，当时，，所以，得，所以当时，，所以，故答案为：16.已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】由分段函数的单调性结合指数函数的单调性可得，即可得解.【详解】因为函数是上的增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设集合.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据交集的定义和运算直接求解；(2)结合(1)，根据交集的结果即可求出参数的取值范围.【小问1详解】当时，，；【小问2详解】由(1)知，，，解得：，所以的取值范围是.18.计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得.（2）根据对数的运算性质，可得.【点睛】本题主要考查了指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.19.已知不等式的解集为或.（1）求实数，的值；（2）解不等式.【答案】（1），；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的解集，结合一元二次方程根与系数的关系求解作答.（2）利用（1）的结论，求解含参的一元二次不等式作答.小问1详解】因为不等式的解集为或，则是方程的二根，且，因此，解得，，所以，.【小问2详解】由（1）知，不等式为，即，当时，；当时，；当时，，所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当，不等式的解集为.20.一公司某年用98万元购进一台生产设备，使用年后需要的维护费总计万元，该设备每年创造利润50万元.（1）求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？（2）求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？【答案】（1）10年，102万元；（2）7年，12万元.【解析】【分析】(1)设该设备使用年后获得总利润为万元，则，结合二次函数的性质即可求解；(2)由(1)可得，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】设该设备使用年后获得总利润为万元，则，该二次函数为开口向下、对称轴为的抛物线，所以当时，函数y即总利润取得最大，且最大值为102万元；【小问2详解】由(1)可知，年平均利润为，当且仅当即时，等号成立，所以使用设备7年后的年平均利润最大，且最大值为12万元.21.设函数的定义域为[，4]．（1）若t＝log2x，求t的取值范围；（2）求y＝f（x）的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．【答案】（1）[－2，2]；（2）x＝时，ymin＝－；x＝4时，ymax＝12．【解析】【分析】（1）根据给出的函数的定义域，直接利用对数函数的单调性求得取值范围；（2）把利用对数式的运算性质化为含有的二次函数，然后利用配方法求函数的最值，并由此求出最值时对应的的值．【详解】（1）∵≤x≤4，∴－2≤log2x≤2，∴－2≤t≤2．∴t的取值范围是[－2，2]．（2）y＝f（x）＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，由（1）知t＝log2x，t∈[－2，2]，∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－．当t＝－，即log2x＝－，x＝时，ymin＝－，当t＝2，即log2x＝2，x＝4时，ymax＝12．【点睛】本题考查对数的运算和二次型函数的最值问题，考查换元法，属于中档题.22.函数对任意的实数m，n，有，当时，有．（1）求证：．（2）求证：在上为增函数．（3）若，解不等式．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）令，代入等式，可求得；（2）令，代入等式，结合，可得到，从而可知是奇函数，然后用定义法可证明在上为增函数；（3）原不等式可化为，结合函数的单调性，可得出，解不等式即可.【详解】（1）证明：令，则，∴.（2）证明：令，则，∴，∴，∴对任意的，都有，即是奇函数．在上任取，，且，则，∴，即，∴函数在上为增函数.（3）原不等式可化为，由（2）知在上为增函数，可得，即，∵，∴，解得，故原不等式的解集为.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.