福建省部分达标学校#$#%!#$#&学年第一学期期中质量监测高三数学试卷参考答案一!单项选择题本大题共'小题#每小题(分#共&$分!!!)!#*+!%*,!&*-!(*,!.*-!*+!'*,'!解析依题作出函数!#的图象#结合图象可知$当#!/##$%时#!#极小值0!/!0#1&当#!$##%时#!#极小值0!!01&1$当#!##&%时#!#极小值0!%0!#!##!若对##!/2#$%#!#极小值$#1#则$%!#所以$的最大值为!#,正确!二!多项选择题本大题共&小题#每小题(分#共#$分!3!+,!!$*,-!!!*+-)!!#*+,)!#!解析对于选项+#!#4#01567!#4#/1895!#4#01567#/1895#0!##故选项+正确!对于选项,#由!#01567#/1895##得%!#0895#1567#4567#1895##567#895#当#!$#时#%!#0895#14567#1&$##所以!#在区间!$#上单调递增#故选项,正确!#567!#4895!#4对于选项-#!#401&/1&#&!!设&!'01567'4&/1895'4&#!!槡#槡#槡#槡#!!则&!/'01567/'4&/1895/'4&01/#567'4#895'/1#895'4#567'01895'4&/1567'4&0/&!'#所以函数&!'即!#4是奇函数#故选项-不正确!&对于选项)#由!#01567#/1895##得%!#0895#1567#4567#1895##令'!#0895#1567#4567#1895##则'%!#01567#!895##/567#41895#!895#/567##!%###当#!#时#895#/567#'$#895#/567#'$##&%所以'%!#'$#即%!#在区间!#上单调递减##&567895又%!08951#45671#0!&$####%%##%%567%895槡#/槡槡%!08951&45671&0!1#/1#'$#&&&#!高三数学参考答案!第!!页#共页$%{#{QQABJYKUggAAABBAAAgCEwWiCgIQkBCCCAoORBAAIAABgANABAA=}#}书%所以%!#在区间!#上存在唯一零点&#&%567#895#$当#!#时#%!#0895#14567#1#&567#895#又567#4895#0槡#567!#4'$#1&1#&所以%!#0895#1567#4567#1895#'!895#4567#1567#'$#%则%!#在区间!#上无零点!&综上#!#在区间!#上有且仅有一个极值点#故选项)正确!#三!填空题本大题共&小题#每小题(分#共#$分!!%!'#(/&'#%#(!或!/&##%!&!/#!答案不唯一#形如(#!('$即可槡.#!(!'#!.!)&!!解析%!#0#4#)#4*#设切点为!#$#!#$#则切线斜率为%!#$#切线方程为+/!#$0%!#$!#/#$#由于切线过点,!!#$##%#&:/!#$0%!#$!!/#$#整理得#$4!)/!#$/#)#$/0$!%%#&构造函数&!#0#%4!)/!##/#)#/#:+0&!#有三个不同的零点#%%&%!#0###4#!)/!#/#)0#!#/!!#4)#(!&(易知))/!#&!!)&!/)'$#即!//)!)%4)#/'$#即!)4!)/!)%%%%(!)4##&$#又点,!!#$在曲线下方#:!!&$#即)&/#解得)&!!%四!解答题!./-.!!解$!!在*-./中#由正弦定理得0#………………………………!分567+-567+-/.(#槡#则0#解得567+-/.0!……………………………………………#分567&(;567+-/.(又由题设知+-/.!$;#3$;#……………………………………………………………%分#槡#%所以895+-/.0槡!/567+-/.0!……………………………………………&分(槡#!#895+./00895!3$;/+-/.0567+-/.0#…………………………………(分(#槡#%567+./00槡!/895+./00#…………………………………………………….分(!!槡#%由1*.0/0/.)/0)567+./0#得槡&.0<(3是-/!的中点#:23,0/!!…………………………………………………………!分>23-平面./34#0/!.平面./34#:0/!,平面./34#………………………………………………………………………#分又4是-.!的中点#:34,.!/!#………………………………………………………%分>34-平面./34#.!/!.平面./34#:.!/!,平面./34#……………………………………………………………………&分又0/!#.!/!-平面0.!/!#.!/!/0/!0/!#…………………………………………(分:平面./34,平面0.!/!!……………………………………………………………….分!$#)#解取-.的中点5连接/5!!!在菱形-.0/中#>+-/00!#$;#:*-./为正三角形#则/50/0#!&又//!0平面-.0/#………………………………………………分%(!:以/5#/0#//!所在直线分别为##+#6轴#建立如图所示的空间直#'$角坐标系#*+%槡%则/!$#$#$#.!%#槡%#$#3!#/#!#.!!%#槡%###…………'分##!高三数学参考答案!第!%页#共页$%{#{QQABJYKUggAAABBAAAgCEwWiCgIQkBCCCAoORBAAIAABgANABAA=}#}212121%槡%:/.!0!%#槡%###/.0!%#槡%#$#/30!#/#!!##设平面./34的法向量为!0!##+#6#214%#4槡%+0$#4!)/.0$#则即3213%槡%5!)/30$##/+460$#5##令#0!#则+0/槡%#60/%#:!0!!#/槡%#/%!……………………………………!$分2121/.!)!%槡!%设直线/.!与平面./34所成的角为!#则567!0(895+/.!#!,(0(21(0#(/.!((!(#.%槡!%:直线/.!与平面./34所成角的正弦值为!…………………………………!#分#.?7#?7#/!#$!!!解$因为!#0!/!#&$#所以%!#0##……………………………!分##则曲线+0!#在-!!#!处的切线的斜率为%!!0/!!)1!)1!因为&!#0#4/*##所以&%!#0/#/#/*#…………………………………#分1#1#则曲线+0&!#在-!!#!处的切线的斜率为&%!!0/)/!/*!因为曲线+0!#与曲线+0&!#在-!!#!处的切线互相垂直#所以%!!)&%!!0/!#即)4*0/###………………………………………………&分又&!!0!#所以)/*0$#$………………………………………………………………(分联立#$得)0/!#*0/!!……………………………………………………………….分1!!#证明$由!!知&!#0/#44#!1##?7#1!!法一要证!#4&!#$#即证!//#/4#$$!##1#?7#1!令7!#0!///4#!#$!##1##/!4?7#1!?7#1则7%!#0444!044!!………………………………………'分##1#####1#?7#1因为#$!#所以7%!#044!&$#………………………………………………3分##1#所以7!#在*!#42上单调递增#………………………………………………………!$分所以当#$!时#7!#$7!!0$#…………………………………………………………!!分?7#1!即!///4#$$##1###所以当#$!时#!#4&!#$!………………………………………………………!#分#!!法二设7!!#0?7#/#4!#则7%!!#0/!##!因为#$!时#7%!#0/!%$#所以7!!#在*!#42上单调递减##所以7!!#%7!!!0$#即?7#/#4!%$#!高三数学参考答案!第!&页#共页$%{#{QQABJYKUggAAABBAAAgCEwWiCgIQkBCCCAoORBAAIAABgANABAA=}#}所以?7#%#/!#当且仅当#0!时#等号成立!…………………………………………分##设7#!#01/1##则7%#!#01/1##因为当#$!时#7%#!#01/1$$#所以7#!#在*!#42上单调递增##所以7#!#$7#!!0$#即1/1#$$#所以1#$1##当且仅当#0!时#等号成立!………………………………………………'分#?7#1!要证!#4&!#$#即证!//#/4#$$!##1#1#又#$!#所以即证#/?7#//!4##$$1#由?7#%#/!#1#$1##1#1#得#/?7#//!4##$#/!#/!//!4##0##/!!当#0!时#等号成立#1#1#即证##/!$$#……………………………………………………………………………!$分又7!#0##/!在*!#42上单调递增#则7!#$7!!0$#即##/!$$##所以当#$!时#!#4&!#$!………………………………………………………!#分#)*##!!解$!!由正弦定理得40!#……………………………………………………#分*48)*4*8)#4*#/8#!整理得)#4*#/8#0)*#即0##)*#!由余弦定理得89500#…………………………………………………………………&分#又0!$##所以00!…………………………………………………………………(分%##!#由!!知-4.0#即-0/.!%%#4$'/.'#%#因为*-.0为锐角三角形#所以3解得'.'!…………………….分.#$'.'#5#)*8)4*48*由正弦定理00#得0#……………………分567-567.5670567-4567.45670567.##槡%则)4*480*567!/.4567.4%567.%##槡%%槡%0!895.4567.4567.###槡%!!4895.0%4567..槡%<#895##0%4..#567895##!高三数学参考答案!第!(页#共页$%{#{QQABJYKUggAAABBAAAgCEwWiCgIQkBCCCAoORBAAIAABgANABAA=}#}槡%0%4#……………………