绵阳南山中学实验学校高2021级高三（上）一诊模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得.【详解】解一元二次不等式化简集合A,得,由得,所以.故选D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.2.若复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的四则运算结合共轭复数的概念求解.【详解】由，得．故选：C3.设是等差数列的前n项和，若，则（）A.15 B.30 C.45 D.60【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质求出，再根据等差数列前n项和公式即可得解.【详解】由题意得，所以，所以.故选：C.4.已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】命题为真命题等价于不等式有解．当时，不等式变形为，则，符合题意；当时，，解得；当时，总存在，使得；综上可得实数的取值范围为．故选：B5.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6.执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为17，则输入的最小整数的值为（）A.9 B.12 C.14 D.16【答案】A【解析】【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的值恰好满足题意，然后停止循环求出的值.【详解】第一次循环，，不成立；第二次循环，，不成立；第三次循环，．不成立；第四次循环，，，成立，所以，输入的最小整数t的值为9．故选：A7.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（）（参考数据：，）A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．【详解】由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得，所以．故选：D．8.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.9.函数的大致图象为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为，，所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，所以排除A，C选项；又，所以排除B选项，故选：D．10.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即．故选：C．11.已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为，由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：，因为切线过点，所以，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图象交点的个数，设，则由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调递增，当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图象如下图，且，要使与的图象有三个交点，则.则的取值范围是:.故选：A.12.已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可先做出函数的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的取值范围.【详解】当时，．由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示．设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意．当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．当时，有3个不同的实根，，，且，，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，则有7个不同的实根，不符合题意．当时，有2个不同的实根，，且，．有2个不同的实根，有3个不同的实根，则有5个不同的实根，符合题意．当时，有2个不同的实根，，且，，有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意，综上，m的取值范围是．故选：C.【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有，，，，这几种情况,也是解题关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量．若，则________．【答案】.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.14.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得．已知山高m，则山高______m．【答案】300【解析】【分析】先求，由正弦定理得，最后由可求.【详解】由题意，m，，由正弦定理得m，所以m.故答案为：30015.已知等比数列的前3项和为，则___________.【答案】3【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得，，即可求得的值.【详解】解：设等比数列的公比为，，由题意，因为前3项和为168，故，又，所以，，则.故答案为：3.16.已知函数是的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列命题①②直线是函数图象的一条对称轴③函数在上有5个零点④函数在上为减函数则结论正确的有____________．【答案】①②④【解析】【分析】根据题意，利用特殊值法求得，进而分析得到时函数的一条对称轴，，函数时周期为4的周期函数，且函数在上单调递增，据此结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数是的奇函数，则，对任意，都有成立，当，有，即，则有，即时函数的一条对称轴，又由为奇函数，则，即，可得，所以函数时周期为4的周期函数，当，且时，都有，可函数在上单调递增，对于①中，由，则，所以，所以①正确；对于②中，由时函数的一条对称轴，且函数时周期为4的周期函数，则直线是函数图象的一条对称轴，所以②正确；对于③中，函数在上有7个零点，分别为，所以C错误；对于④中，函数在上为增函数且周期为4，可得在上为增函数，又由是函数图象的一条对称轴，则函数在上为减函数，所以④正确.故答案为：①②④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知函数的部分图象，如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定.（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.【小问1详解】解：根据函数的部分图象可得，，所以.再根据五点法作图可得，所以，.【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.由，可得又函数在上单调递增，在单调递减，，函数在的值域.18.已知数列的前n项和为，，且．，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列前n项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据对数运算得，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列为等差数列，建立方程求出公差，从而可得的通项；（2）利用错位相减法计算即可.【小问1详解】∵，∴，则，所以为等比数列，又，得，所以，由知是等差数列，且，，∴，得，．∴.【小问2详解】因为，，所以，所以则上面两式作差得，∴19.记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，即，又，所以，则．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则．由，得．在中，．在中．因为，所以，整理得．又因为，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为，所以．以向量为基底，有．所以，即，又因为，所以．③由余弦定理得，所以④联立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，，即．⑥联立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平