数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.2.已知，则（）A.10B.2C.D.43.已知，则（）A.B.C.D.4.已知向量，则实数的值为（）A.B.C.-1D.15.已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断6.若命题“对任意的恒成立”为假命题，则的取值范围为（）A.B.C.D.7.函数的大致图像是（）A.B.C.D.8.将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，且函数在上单调递增，则的取值是（）A.B.2C.D.1二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）A.B.是等差数列C.D.对任意，都有10.设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（）A.在上单调递增B.C.不等式的解集为D.的图像与轴只有3个交点11.已知函数若关于的方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.的最小值为1012.如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（）A.B.C.面积的最大值为D.四边形面积的最大值为第II卷（非选择题共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是__________.14.已知函数，若，且，则的最小值为__________.15.已知，且，则的最小值是__________.16.已知函数的定义域均为为奇函数，为偶函数，，，则__________.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列的前项和为，且（1）求；（2）若，求数列的前项和.18.（12分）已知，且的图像过点，又.（1）若成立，求的取值范围；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.19.（12分）已知向量，函数，函数的图像的一条对称轴是直线.（1）求的值；（2）若且，求的值.20.（12分）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的取值范围.21.（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一批浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为年3月底测得浮萍覆盖面积为，浮萍覆盖面积（单位：）与2022年的月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过？（参考数据：）22.（12分）已知是等差数列，.（1）求的通项公式和；（2）已知为等比数列，对于任意，若，则.（i）当时，求证：；（ii）求的通项公式及其前项和.参考答案及解析一､选择题1.D2.C3.A4.B5.B6.A7.A8.B二､选择题9.ABD10.BCD11.AD12.ACD三､填空题13.14.815.3616.2023四､解答题17.解：（1）当时，，当时，，也适合上式.故.（2）由（1）可得，则.18.解：（1）因为在上单调递减，所以解得，所以的取值范围为.（2）因为，所以对于任意恒成立等价于，因为.令，则，所以，当，即，即时，，所以19.解：（1）由题意得因为函数的图像的一条对称轴是直线，所以，得，因为，所以.（2）由（1）可得，由，得，即.因为，则，所以20.解：（1）由已知条件得，由正弦定理得.，即.因为在中，，所以.又是锐角，所以.（2）由正弦定理得，则，所以.由，得，所以，所以面积的取值范围为.21.解：（1）若选择模型，则解得，故函数模型为.若选择模型，则解得，故函数模型为.（2）把代入，可得，把代入，可得，因为，所以选择模型更合适.令，可得，两边取对数，可得，所以13.3，故浮萍至少要到2023年2月覆盖面积能超过.22.（1）解：由题意可得解得，则数列的通项公式为.求和得.（2）（i）证明：由题意可知，当时，，取，则，即，当时，，取，此时，可得.综上，.（ii）解：由题意得是的正项等比数列，设的通项公式且，由（i）知，即，则.①当，即时，存在，使得2，与矛盾；②当，即且时，存在，使得，与矛盾，所以，所以.因为，即，所以，所以，故，所以的前项和为.