福州市八县市一中2023-2024学年第一学期期中考联考高中三年数学试卷第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“”的否定为（）A.B.C.D.2．已知集合，则（） A．B．C．D．3．已知复数满足，则在复平面内对应的点在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第三、四象限4．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是() A．B． C．D．5．己知是不重合的三条直线，是不重合的三个平面，则（    ）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，，则6．如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，集古典美和现代美于一体，富有东方神韵和时代气息。其中扇面的圆心角为，从里到外半径以1递增，若这些扇形的弧长之和为（扇形视为连续弧长，中间没有断开），则最小扇形的半径为（）A．6 B．8 C．9 D．127．若函数满足对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．已知，，当时，，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．“”是“与的夹角为锐角”的充要条件D．若，则在上的投影向量的坐标为10．设，若，，，下列说法正确的是（）A．B．无极值点C．的对称中心是D．11．如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（）A．圆台的体积为B.直线与下底面所成的角的大小为C.异面直线和所成的角的大小为D.圆台外接球的表面积为12．已知实数满足：且，下列说法正确的是（） A．若，则B．若，则C．D．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．不等式的解集.14．关于的方程其最小14个正实数解之和为.15．设是数列的前项和，写出同时满足下列条件数列的一个通项公式:.①数列是等差数列；②，；③，16．已知函数，直线、是的两条切线，，相交于点，若，则点横坐标的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求在上的最值.18．（本题满分12分）已知函数.（1）若在上有且仅有2个极值点，求的取值范围；（2）将的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若的最小正周期为，求的单调递减区间.19．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点分别为和中点.（1）求证：直线平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.20．（本题满分12分）已知中，内角所对的边分别为，且满足.（1）若，求；（2）求的取值范围.21．（本题满分12分）已知数列的前项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．22．（本题满分12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，证明：.高三年级（数学）评分细则选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.答案12345678题号DDBBCCAB二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ACDBCDBCBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(0,4)14．15．形如：，其中，均可，比如16．(0,1)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（1）．……………………1分当或时，；当，……………………3分故函数递增区间为和，递减区间为.……………………5分（2）由(1)可得函数在上单调递减，在上单调递增，……………………6分且，，……………………8分则在上的最大值，……………………9分最小值．……………………10分18．解：（1），……………………1分因为，所以当时，，……………………2分依题意可得，函数在上有且只有2个极值点，则，……………………4分解得，故的取值范围是.……………………5分（2）依题意可得，，……………………6分因为的最小正周期为，所以，即，……………………7分所以，……………………8分令，，……………………10分则，，故的单调递减区间为.……………………12分19．（1）证明：取的中点，连接，……………………1分在中，因为分别为的中点，可得且，又因为为的中点，所以且，……………………2分所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.……………………5分（2）解：因为底面是菱形，且，连接，可得为等边三角形，又因为为的中点，所以，则，又由平面，以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴建立空间直角坐标系，如图所示，……………………6分因为底面是菱形，且，，可得，则……………………8分设平面的法向量为，则，取，可得，所以，……………………10分易得平面的法向量为，设求平面与平面所成角为，则，……………………11分所以平面与平面所成角的余弦值为. …………………12分  20．（1）解法一：由正弦定理得，则，即，①………1分又，由余弦定理得，即，②…………2分由①②得，则有，所以，……………………4分由余弦定理逆定理得，……………………5分又，所以……………………6分解法二：由正弦定理得，……………………1分即……………………2分又，有，故，……………3分即，得，即，……………………4分因为，所以，……………………5分所以，所以.……………………6分（2）由（1）得，，，……………………7分，……………………8分由三角形三边关系可得，代入化简可得，……………………9分令，，，……………………10分，……………………11分，的取值范围是.……………………12分21．解：（1）解：∵，∴当时，，两式相减得，.……………………1分∵，，所以，∴，……………………2分∵，∴，……………………3分∴数列是以首项，公比为的等比数列．……………………4分∴……………………5分（2）∵，∴，……………………6分∴，∴，∴∴，……………………9分∵对任意恒成立，∴，∴，……………………10分∴恒成立，……………………11分∵，∴，∴的取值范围是．……………………12分22．解：（1）由题得，其中，……………………1分令，，其中对称轴为，．①若，则，此时，则，所以在上单调递增；……………………2分②若，则，此时在上有两个根，，且，所以当时，，则，单调递增；当,时，，则，单调递减；当,时，，则，单调递增，……………………4分综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．……………………5分由（1）知，当时，有两个极值点，，且，，…………………6分所以．…………………9分令，，…………………10分则，故在上单调递减，所以，所以，即．…………………12分