大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数 学命题人：黄启光 审题人：李群丽得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数（为虚数单位），是z的共轭复数，则的值为A．1 B． C． D．2．设全集，，，则A． B． C． D．3．已知向量，满足，，，则A．5 B．3 C．2 D．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如，，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是A． B． C． D．5．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是A． B． C． D．6．已知，，．则a，b，c的大小关系是A． B． C． D．7．已知，，则A． B． C．6 D．48．已知函数的零点分别为，，…，，），则A． B． C．0 D．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）A． B．C． D．10．下列说法正确的是A．若不等式的解集为，则B．若命题p：，，则p的否定为：，C．在△ABC中，“”是“”的充要条件D．若对恒成立，则实数x的取值范围为11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则下列说法正确的是A．函数的解析式为 B．函数的解析式为C．函数图象的一条对称轴是 D．函数在区间上单调递增12．已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且，已知在弧度制下锐角，满足：，，则下列结论正确的是A．过点D作球的截面，截面的面积最小为 B．过点D作球的截面，截面的面积最大为C．点Q的轨迹长为 D．点Q的轨迹长为第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为．14．已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为．15．若的展开式中第4项是常数项，则除以9的余数为．16．已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为（，2，3，…，n）．若，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）半径为R的圆内接△ABC，，∠ACB为锐角．（1）求∠ACB的大小；（2若∠ACB的平分线交AB于点D，，，求△ABC的面积．18．（本小题满分12分）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．19．（本小题满分12分）如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，，M为DF的中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，图① 图②（1）证明：EF⊥MC；（2）求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论函数零点的个数；（2）是否存在正实数k，使得恒成立．21．（本小题满分12分）某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上两级的概率为，设他上到第n级的概率为．（1）求他上到第10级的概率（结果用指数形式表示）；（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．22．（本小题满分12分）已知椭圆C：（）的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BDDCCBAAACADABDABD2．D【解析】易知，，∴，故．故选D．3．D【解析】由条件知，同向共线，所以，故选D．4．C【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l的概率为，故选C．5．C【解析】由题意在区间上有零点，∴，，∴，又当时，，单调，不符合，∴，∴，故选C．6．B【解析】∵，∴，又，∴，∴．故选B．7．A【解析】由条件知，，两边同除以得：，∴，从而，故选A．8．A【解析】由，为其中一个零点，令，∵，∴令，∵∴，∴，∴，∴，所以）共有三个零点，0，，∴，故选A．9．AC【解析】∵随机变量X服从正态分布，正态曲线关于直线对称，且，，从而A正确，B错误，根据题意可得，，，∴，故C正确；与不关于直线对称，故D错误．故选AC．10．AD【解析】对于A，不等式解集为，则方程的两根为，2，故，则，，所以，故A正确；对于B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故B不正确；对于C，，又，所以或，显然不是充要条件，故C错误；对于D，令，则，对恒成立，则，解得，故D正确，故选AD．11．ABD【解析】由图知，，，∴，得．故．∵点在函数图象上，∴，即．又∵，∴，∴．故函数的解析式为，故A正确；将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，可得的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，可得的图象，故B正确；当时，，不是最值，故直线不是图象的一条对称轴，故C不正确；当时，，则在还上单调递增，故D正确，故选ABD．12．ABD【解析】三棱锥P-ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，∴，∴，取BC的中点，∴为△ABC的外接圆圆心，∴平面ABC，如图．当OD⊥截面时，截面的面积最小，∵，此时截面圆的半径为，∴最小截面面积为，A对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为，B对；由条件可得，，则点Q的轨迹分别是以点P为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为，两段弧圆心角为，弧长为，D对．故选ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14【解析】因为为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14．14．9【解析】因为F是双曲线的左焦点，所以，设其右焦点为，则由双曲线定义得．15．1【解析】由题知，，因第4项为常数项，所以当时，，所以，则，而，1除9的余数为1，所以被9除余1．16．【解析】函数的零点转化为与的交点的横坐标，作出函数和（）的图象可知，，，，，…，若，则，所以实数a的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由正弦定理，又角C为锐角，所以．（2）∵CD为∠ACB的平分线，，∴，又∵，∴，则有，∴，∴．18．【解析】（1）设数列的公差为d，令，得，所以．①令，得，所以．②解①②得，，所以．（2）由（1）知，所以，所以，两式相减，得．所以．19．【解析】（1）证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF⊥CD．∴折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF．∵，DF，平面DCF，∴EF⊥平面DCF．又平面DCF，∴EF⊥MC．（2）∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面平面，且平面DF⊥EF，平面AEFD，∴DF⊥平面BEFC，又平面BEFC，∴DF⊥CF，∴DF，CF，EF两两垂直．以F为坐标原点，分别以FD，FC，EF所在直线为．x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz．由题意知．∴，，，．∴，，．设平面MAB，平面ABD的法向量分别为，，由得，取，则为平面MAB的一个法向量．由得，取，则为平面ABD的一个法向量．∴，平面MAB与平面DAB夹角的余弦值．20．【解析】（1）设，则，可知在上单调递减，又，，所以方程有且仅有一个根，即函数有且只有1个零点．（2）令得（），即（）．设，，则，设，，则，因为，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，则恒成立，所以函数在上单调递减，又，，所以不可能存在正实数k，使得恒成立．21．【解析】（1）由条件知，，且（）．所以，所以，又，∴，∴．∴．（2）由（1）知此人上到第5级的概率为，X的可能取值为3，4，5，，所以X的分布列为X345P所以．22．【解析】（1）设，，，则由；得，由得，即．所以．又因为，所以，．因此所求椭圆C的方程为．（2）设动直线l的方程为：，由得．设，．则，．假设在y上存在定点，满足题设，则，．