2023届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（三）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BDCAAACBCADB【解析】1．，故选B．2．，故选D．3．对于A：由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为，故A正确；对于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17，故B正确；对于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，故C错误；对于D：2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%，设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则，解得，故D正确，故选C．4．观察主视图中的木条位置和木条的层次位置，分析可知侧视图是A，故选A．5．由为偶函数，所以，，故选A．6．因为，所以，即函数为偶函数，排除C，D；因为，所以排除B，故选A．7．连接，因为，所以直线与BC所成的角即为，设，易得，，则由余弦定理知，，故选C．8．从，，，，这五个分数中任选两个数，则有：共10种情况，其中这个数的和大于的有共4种情况，故这两个数的和大于的概率为，故选B．9．，由已知得解得由，故选C．由，，将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，，正方体的棱长为，则正四面体棱长为，高为，，故选A．曲线方程化为标准方程为，则依题意可得解得故选D．12．，，，故，则，而，故，则，所以，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案【解析】13．由题意，向量与垂直，则，解得．14．圆心，半径，圆心到直线的距离为，由题意可知．15．已知条件可知为直角三角形．，可得16．依正弦定理，由知角A是钝角，则，当时，令，，当且仅当时，取“=”，即，当时，；当时，令，，令，，，所以在上单调递增，所以，即，综上得，所以的取值范围是．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为．……………………………………………………（4分）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为……………………………………………………（6分）（2）列联表如下：人次人次空气质量好6674空气质量不好4416………………………………………………………………………………………（8分），……………………………………（10分）因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．……………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）因为当时，有①，所以当时，②，……………………………………（2分）由①−②，整理可得，所以数列是等差数列．…………………（4分）（2）由（1）可知是等差数列，所以………………………（5分）可得……………………………………………………………………………（7分）所以数列的公差，…………………………………………………（8分）所以，………………………………………………………（9分）所以．………………………（10分）又，所以当或时，Sn取到最大值为60．…………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：为直角梯形，，．又，，…………………………………………………………（1分）．…………………………………………………………………………（2分）又，．……………………………………………………（3分）又，，如图，过点A作，，．又，．又，由勾股定理可知……………………（4分），．………………………（5分）平面平面平面．……………………………………………………………（6分）（2）解：取AB的中点N，连接DN，MN，……………………………………………（7分）∵M为AE的中点，，．……………………………（8分）由（1）知BE⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角．…………………………………………（9分）由（1）知，又，，，∴，，…………………………………………………（10分）∴．………………………………………………………………………………（11分）．………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题意得，令，的定义域为，由得：．……………………………………………………………（1分）设，则，…………………………………………………（2分）当时，；当时，；……………………………………………………………………………………（3分）在上单调递增，在上单调递减，，……………………………………………………………………………………（4分），即实数的取值范围为．……………………………………………（5分）（2）令，的定义域为．………………………………………………（6分）①当时，时，，在上是增函数；时，，在上是减函数；时，，在上是增函数；………………………………………………………………………………………（8分）②当时，，时，在上是减函数；时，在上是增函数；……………………………（10分）③当时，单调递增；④当时，时，，在上是增函数，时，，在上是减函数，时，，是增函数．……………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：，，……………………………………………………………………………………（2分）则得与联立，解得，所以椭圆C的标准方程为．………………………………………………（4分）（2）证明：设P(，)，A(，)，B(，)，则，可设直线PA的方程为，其中，联立得，则，……………………………………………………（6分）同理可得，．……………………………………………………（7分）因为，……………………………………………………………………………（9分）所以……………………（10分）所以是定值．…………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）的参数方程为（为参数），消去可得，，所以曲线的直角坐标方程为．………………………………………………………………………………………（1分）将，代入得，曲线的极坐标方程为……………（2分）的极坐标方程为，联立可得，……………（3分）所以曲线和曲线的交点极坐标为和．…………………………（5分）（2）当时，，，．………………………………………………………………………………………（6分）显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大，………………………………………………………………………………………（7分）直线MN的方程为，圆心到直线MN的距离为，………………………………………………………………………………………（8分）所以点P到直线MN的最大距离，………………………………（9分）所以．………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：原不等式等价于…………………………（1分）…………………………………………………（3分）解得…………………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）知……………………………………………………（6分）………………………………………………………………………………………（9分）当且仅当时等号成立．……………………………………………………（10分）