沈阳二中2022—2023学年度下学期第五次模拟考试高三（23届）数学试题命题人：高三数学组审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效。第Ⅰ卷(选择题，共60分)一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合AxN*|x2，集合Byyx22，则AB（）A．1,4B．2,4C．1,2,3,4D．2,3,4i2．已知复数z（其中i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）1i1111A．iB．iC．D．22223．某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（）A．220B．240C．250D．3004．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关。如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”。画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A．14πB．18πC．30πD．44π25．设a,b是两个单位向量，若ab在b上的投影向量为b，则cosa,b（）3112222A．B．C．D．3333五模（数学）试卷第1页，共6页6．魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上）．由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（）2121A．B．C．D．2244π2ππ7．已知函数fx3sin2x2cosx1，将函数fx的图象向左平移个单位长度，得到366π函数gx的图象，若x,x是关于x的方程gxa在0,内的两根，则sin2x2x（）12212331010A．B．-C．D．5510108．已知M是圆C:(x1)2y24上的动点，以点M为圆心，|OM|为半径作圆M，设圆M与圆C交于A，B两点，则下列点中，直线AB一定不经过（）A．31B．3C．11D．12,,1,,4222222二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。y29．已知双曲线x2cos2kπ,kZ，则不因的变化而变化的是（）3A．顶点坐标B．渐近线方程C．焦距D．离心率10．下列说法中正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，样本方差没有变化B．在线性回归分析中，成对数据构成的点都在回归直线上的充要条件是相关系数r1C．在线性回归分析中，回归直线就是使所有数据的残差平方和最小的直线D．在线性回归分析中，用最小二乘法求得的回归直线使所有数据的残差和为零五模（数学）试卷第2页，共6页11．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r上1，r下2，母线AB长为2，E为母线AB中点，则下列结论正确的是（）A．圆台母线AB与底面所成角为60°B．圆台的侧面积为12C．圆台外接球半径为2D．在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为5xlnx12．已知函数f(x),g(x)，若直线yb与曲线yf(x)和yg(x)分别相交于点exxAx1,fx1,Bx2,fx2,Cx3,gx3,Dx4,gx4，且x1x2，x3x4，则下列关系中正确的是()A．x1x4x2x3B．x1x4x2x3x4x2C．lnx2x1D．lnx4x3x3x1第II卷(选择题，共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知lgab2，ab10，则a______．4ab14．已知随机变量~N(1,2),a0,b0，若PaPb，则的最小值为__________.ab1cos20115．sin10tan5_______.2sin20tan5202016．已知[x]表示不超过x的最大整数，记{x}x[x]，则方程{x}的整数解个数为__________．x四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）n已知数列an满足a12，anan12.a（1）证明：n2为常数；an（2）设数列an的前n项和为Tn，求T2n.五模（数学）试卷第3页，共6页18．（本小题满分12分）一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且BAC45，BCA75，AC1243米，如图所示：(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；(2)若2号机器人发现足球在点D处向点A作匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球．已知AD17米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段AD上的点E处截住足球，求此时线段AE的长．19．（本小题满分12分）-如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是边长为2的等边三角形，A1CBC，平面AA1C1C平面ABC．(1)证明：A1AA1B；(2)若E为A1C1的中点，直线B1B与平面ABC所成的角为45°，求直线B1C与平面AB1E所成的角的正弦值．五模（数学）试卷第4页，共6页20．（本小题满分12分）某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）A,AA,BB,AB,B甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；(2)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望EX；(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，PM0，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：PMNPMN．五模（数学）试卷第5页，共6页21．（本小题满分12分）如图：李华同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象．已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，FAP30,AFP90．设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程；(2)斜率为k的直线过点D(0,3)，且与曲线C交于不同的两点M、N，已知k的取值范围为(0,2)，探究：是否存在，使得DMDN，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）xixx0已知曲线fxe在点x0,e处的切线为l，设n，i1，2，…，n1，nN且n2.fixex1x(1)设x0是方程fx的一个实根，证明：l为曲线fxe和ylnx的公切线；x11(2)当x1,1时，对任意的nN且n2，fxfxfx恒成立，求m的最小值．12n1em五模（数学）试卷第6页，共6页