2023届高三综合测试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案ADCBDBCC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ABBCADBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．xy−−=10（写成yx=−1亦可）14．421191nn15．16．3(1)−−1822四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31π17.解：（1）fxxxxxx()=−=−=−3sincoso2sincs2sin，…1分226因为函数fx()图象的两条相邻对称轴之间的距离为，12π所以T=，则T=2π，所以T==2π，解得=1，2π所以fxx()=−2sin．……3分6由−+−+22kxk，kZ，解得2622−++22kxk，kZ332因此fx()的单调增区间是−++2,2kk，.……5分33ππ（2）由f(x)=−2sinx，函数fx()的图象关于,0对称，62ππ1所以−=kπ，kZ，所以=+2k，kZ，……7分263πππππ由x0,，0，则x−−−,，36636ππππ−又函数在0,上单调，所以362，解得02，……9分3011由022+k解得k=0，此时=.……10分3318.解：（1）当n=1时，12S14.……1分又因为aZn，所以a1=1.数学试题参考答案第1页，共7页nn(1)−设and=+1−(1)，则Snd=+.……2分nn2依题意，nnnndn22+−+2(1)(1)，……3分(1)20−+−dnd得恒成立分2……4(1)10dndn−−−解得d=1，……5分所以，ann=.……6分n（2）b=n2n123nT=++++①n2222123n1123nT=++++②22222n2341n+111112nn+①-②，得T=++++−=−1……9分2222222n12311nnn++n+2即T=−22……10分n2nnnn=+1,22时，[T]0n=;nn(1)+nCCnn2,2112时++=n+++12，[T]=1，nn2n所以M20=19.……12分19.解：（1）70%地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的70%分位数.……1分由表可知，把50个日需求量的数据从小到大排列，由70%5035=，日需求量在24箱以下的天数为10101535++=，可知，日需求量的样本数据的第35项数据为24，第36项数据为25，2425+因此，可以估计日需求量的第70%分位数为=24.5，……3分2所以能70%地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为24.5箱.……4分（2）由（1）知2424.5<25=t，即n0=24设每天的进货量为24箱的利润为X，31由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，当55天卖不完剩余2箱的概率，若当天卖完X=−=24(10050)1200元，若当天卖不完剩余1箱X=−−23(100=50)1301120元，若当天卖不完剩余2箱X=−−22(100=50)2301040元，……6分31所以EX()=1200+(1120+1040)=1152元.……7分55设每天的进货量为25箱的利润为Y，3由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，10当天卖不完剩余2箱的概率，当天卖不完剩余3箱的概率，若当天卖完Y=25(100−50)=1250元，数学试题参考答案第2页，共7页当天卖不完剩余1箱Y=−−=24(10050)1301170元，当天卖不完剩余2箱Y=−−=23(10050)2301090元，当天卖不完剩余3箱Y=22(100−50)−330=1010元，……9分31所以EY()(12501170)(10901010)1146=+++=元，……10分105由于EY()E()X，显然每天的进货量25箱的期望利润小于每天的进货量为24箱的期望利润，所以店老板应当购进24箱.……12分20.（1）证明：连接BD,在正方形ABCD中BDA⊥C,又PA⊥平面，故PABD⊥而PA,AC是平面PAC上的两条相交直线，所以BD⊥平面……2分在△PBD中，EF为中位线，故EFB//D……3分所以EF⊥平面.又EF平面EFG，所以平面EFG⊥平面……5分（2）以ABA,,DAP所在直线为xy,,z轴建立如图空间直角坐标系Ax−yz，则ABCPDEF(0,0,0),2,0,0(,2,2,0)(,0,0,2),0,2,0(,1,0,1)(,0,1,)()(1)，AEAF==(1,0,1),0,1,1()，……7分设平面AEF的一个法向量为mxyz=(111,,)，AEm=0xz11+=0则，即，AFm=0yz11+=0取m=−(1,1,1)，……8分1设PG=PC(01，)，2则AGAP=+=+=+−=−PGAPPC(0,0,22,2,)(22,2),2(2)62−1则sincos===,mAG，3++44(2222−2)311整理得122−8+1=0，解得=或=（舍去），……10分62111故PGPC=,故G到平面PAB的距离hBC==,66312故S=BEh=△EBG26数学试题参考答案第3页，共7页因为AEBC=(1,0,1)(0,1,0）=0,所以AEB⊥C又AEBP=−=(1,0,1)(2,0,20）,所以AE⊥BP，又BPBCP=，所以EA⊥平面PBC，故A到平面BEG的距离为EA=21121三棱锥EA−BG体积为VVSEA====2.……12分EABGAEBGEBG−−3369△21.解：（1）因为PF12F的周长等于22ac+为定值,所以内切圆半径最大时，即的面积最大，此时点P为椭圆的上（下）顶点……1分125可得+=(22)acbc；……2分25c2又因为e==，ca222b=+，解得acb===3,2,5，……3分a3xy22所以椭圆E的方程为+=1；……4分95（2）（法一）设点由条件可知直线l的斜率k0，设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，ykx=−(1)2222由xy22得：(59)189450+−+−=kxkxk+=19518945kk22−所以xxx+==x,（*）……5分12125959++kk22由（*）可得925k2−(2)(2)2()4xxx−−=−++=xxx①……6分12121259+k2−70ky(xy−xk2)+−xxk(xx=−−−−2)(=1)(2)+(1)(2)②……7分1221122159+k2−40k2yyk=−++x2xxx[()=1]③……8分12121259+k2由对称性，不妨令点M位于第四象限，设直线PF2的倾斜角为，直线QF2的倾斜角为，直线FM2的倾斜角为，yy则tan=12,tan=,tan=mxx12−−22数学试题参考答案第4页，共7页又FM2在PF2Q的角平分线所在的直线上，则tan()tan()tan()−=−+=−yymm−−12xx−−22可得出12=……9分yy11++mm12xx12−−22yyyyyy化简得()2(1)()=0121212++−−+mm2xxxxxx121212−−−−−−2222222即[y1(2)(2)]2xy22−xmxxy1121+−+−−(2)(2)[21y22my1−−−(2)(2)]xyx+−=0将①②③式代入上式得：−+−+=35(4925)350kmkmk22……10分57k则(75)(57)0kmmk+−+=，解得mm=−=,()舍去……11分75k55故直线方程为yx=−(−2)，令x=9得点M(9,−)7kk55则k'=−，故kk'=−为定值.……12分9k9【法二】设线由条件可知直线l的斜率k0，设直线PF2的斜率为k1，直线QF2的斜率为k2，直线的斜率为m，1直线lxny:(2)1−−+=，其中k=nxy22由+=1得5[(2)2]945xy−++=229522即9yxxxnyxny2+5(−2)+−20(−−+2)(2)25−(−−+=2)0整理得(9−+−−−=25n2)70yn22xyx(2)40(2)0……6分22yy即(9−25nn)+70−40=0xx−−22y令=k,则(9−25n22)k+70nk−40=0，其中kk，为方程的根x−212数学试题参考答案第5页，共7页70n40所以kk+=，kk=……8分12259n2−1225n92−由对称性，不妨令点M位于第四象限，设直线PF2的倾斜角为，直线QF2的倾斜角为，直线FM2的倾斜角为，yy则tan,tan,tan===12mxx12−−22又在PF2Q的角平分线所在的直线上，则tan(−)=tan(−+)=tan(−)mk−−km122由=得()(22)()0kkmk121212++−−+=kmkk……9分11++mk12mk代入整理得35(2549)350nmnmn22+−−=，……10分则(57)(75)0nmmn−+=75n故m=（舍去）或者m=−……11分5n75n所以直线的方程为yx=−−(2)，令x=9得点Mn(9,5−)75n5故k'=−，则kk'=−为定值.……12分9922.解：（1）fx()的定义域为(0,)+．……1分1(1)1(1)(1)axaxaxx2−++−−fxaxa'()(1)=+−+==．……2分xxx1−x①a=0时，fx'()=，当01x时，fxfx'()0,()单调递增；当x1时，xf'(x)0,f(x)单调递减，故f(x)f(1)=−10，无零点．……3分②a0时，ax−10，当时，单调递增；当时，a单调递减，故fxf()(1)1==−−，且xx→0,+→+时，均有max2fx()→−．a若−−10即a−2时，fx()有两个零点；2a若−−=10即a=−2时，fx()有一个零点；2a若−−10即−20a时，fx()无零点．……4分211③a0时，若01a，则01x或x时，fxfx'()0,()均单调递增；1xaaa时，f'(x)0,f(x)单调递减．而fx(1)10,=−−→+时，fx()→+，故fx()2有一个零点．若a=1，则fx'()0，fx()在(0,)+上单调递增，且x→0+时，，x→+时，，故fx()有一个零点．数学试题参考答案第6页，共7页11若a1，同理可得，fx()在(0,),(1,)+上单调递增，在(,1)上单调递减，aa111f()ln10=−−，此时fx()有一个零点．……6分aaa2综上得：当−20a时，fx()无零点；当a=−2或a0时，fx()有一个零点；当a−2时，fx()有两个零点．……7分xj（2）当a1时，由（1），任取xxij,()xxij，设t=1，xilnlnxxji−2先证．xxxxjiji−+2(t1)−2(1)t−上述不等式即为ln0t−，设gtt()ln=−，t+1t+114(1)t−2则gt'()0=−=，所以gt()在(1,+)上单调递增，tttt(1)(1)++22gt(g)(1=)0，即成立．……9分11由fx(f)x()=得：ln(1)ln(1)xaxaxxaxax+−+=+−+22，ijiiijj223lnxxij−lna所以+(xij+