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数学答案
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沈阳二中2023-2024学年度上学期高三10月(数学)阶段测试答案和解析1.【答案】퐴2.【答案】퐷3.【答案】퐶4.【答案】퐴5.【答案】퐴6.【答案】퐶7.【答案】퐵8.【答案】퐷9.【答案】퐵퐷10.【答案】퐴퐷11.【答案】퐵퐷12.【答案】퐵퐶233512√213.【答案】2+114.【答案】充分不必要15.【答案】(,]16.【答案】[,+]√6623617.【答案】解:(1)当푛=1时,3푆1=3푎1=2푎1+1,解得푎1=1,3푆=2푎+1当푛≥2时,{푛푛,3푆푛−1=2푎푛−1+1相减得3푎푛=2푎푛+1−(2푎푛−1+1)=2푎푛−2푎푛−1,整理得푎푛=−2푎푛−1,푎因为푎=1≠0,所以푛=−2,1푎푛−1所以{푎푛}是首项为1,公比为−2的等比数列,푛−1所以푎푛=(−2);푛−1푛−1(2)因为|푎푛|=2,所以|푎푛|=2单调递增,푀+푚当푛=1时,푀=푚=푎=1,所以푏=11=1,11112当푛为奇数且푛>1时,0<푎1<−푎2<푎3<−푎4<⋯<−푎푛−1<푎푛,即푎푛>푎푛−2>⋯>푎3>푎1>0>푎2>푎4>⋯>푎푛−1,所以푀푛=푎푛,푚푛=푎푛−1,当푛为偶数时,0<푎1<−푎2<푎3<−푎4<⋯<푎푛−1<−푎푛,即푎푛−1>푎푛−3>⋯>푎3>푎1>0>푎2>푎4>⋯>푎푛,所以푀푛=푎푛−1,푚푛=푎푛,1,푛=1所以푏={푎+푎,푛푛푛−1,푛≥22푎+푎푎+푎푎+푎푎+푎所以푇=1+12+23+34+⋯+19202022221=1+[(푎+푎+⋯+푎)+(푎+푎+⋯+푎)]2121923201911−(−2)19(−2)[1−(−2)]=1+{+}21−(−2)1−(−2)115−219=1+(1+219−2−220)=1+(−1−219)=.666第1页,共6页{#{QQABIYwAggggQAAAAAhCAwHwCgGQkACACAoOQBAIsAABQQFABAA=}#}푥푥【答案】解:向量푝⃗=(1,cos),푞⃗=(sin,√3),18.(1)22→→푥푥푥휋则푓(푥)=푝·푞=푠????푛+√3푐표푠=2푠????푛(+),2223휋푥휋휋由−+2푘휋⩽+⩽+2푘휋,푘∈푍22325휋휋可得−+4푘휋⩽푥⩽+4푘휋,푘∈푍,335휋휋则函数푓(푥)的递增区间为[−+4푘휋,+4푘휋],푘∈푍,33因为函数푓(푥)=푝⃗·푞⃗在(−푚,푚)内单调递增.−푚<푚휋푚⩽+4푘휋,푘∈푍所以{3,5휋−푚⩾−+4푘휋,푘∈푍3휋解得,0<푚⩽,푘=03휋即实数的取值范围为0<푚⩽.푚3휋因为,,∠퐴=,(2)퐴퐷=2퐴퐵=43휋在△퐴퐵퐷中,由余弦定理可得퐵퐷=√22+42−2×2×4×푐표푠=2√3,32휋在△퐵퐶퐷中,由余弦定理可得퐵퐷2=12=퐵퐶2+퐷퐶2−2×퐵퐶×퐷퐶×푐표푠,3即12=퐵퐶2+퐷퐶2+퐵퐶×퐷퐶=(퐵퐶+퐷퐶)2−퐵퐶×퐷퐶퐵퐶+퐷퐶23⩾(퐵퐶+퐷퐶)2−()=(퐵퐶+퐷퐶)2,24即퐵퐶+퐷퐶⩽4,当且仅当퐵퐶=퐷퐶=2时取等号,所以퐴퐵+퐴퐷+퐵퐶+퐷퐶⩽2+4+4=10,所以四边形퐴퐵퐶퐷花圃周长的最大值为10,19.【答案】(1)解:因为一次喷洒4个单位的净化剂,64−4,0≤푥≤4所以其浓度为푓(푥)=4푦={8−푥,20−2푥,4<푥≤1064当0≤푥≤4时,−4≥4,得0≤푥≤4,8−푥当4<푥≤10时,20−2푥≥4,得4 <푥⩽8,综上0≤푥≤8,所以若一次喷洒4个单位的消毒剂,则有效杀灭时间可达8小时;(2)设从第一次喷洒起,经푥(6≤푥≤10)小时后,第2页,共6页{#{QQABIYwAggggQAAAAAhCAwHwCgGQkACACAoOQBAIsAABQQFABAA=}#}116其浓度为푔(푥)=2(5−푥)+푎[−1],28−(푥−6)16푎16푎=10−푥+−푎=14−푥+−푎−4,14−푥14−푥因为14−푥∈[4,8],푎∈[1,4],16푎16푎所以14−푥+−푎−4≥2√(14−푥)⋅−푎−4=8푎−푎−4,14−푥14−푥√16푎当且仅当14−푥=,即푥=14−4푎时,等号成立;14−푥√所以其最小值为8√푎−푎−4,由8√푎−푎−4≥4,解得24−16√2≤푎≤4,所以푎的最小值为24−16√2≈1.6.2푏−푐cos퐶20.【答案】解:(1)因为=,푎cos퐴所以(2푏−푐)cos퐴=푎cos퐶,所以2sin퐵cos퐴=sin퐴cos퐶+cos퐴sin퐶=sin(퐴+퐶)=sin퐵.1因为sin퐵>0,所以cos퐴=2휋因为,所以퐴=.퐴∈(0,휋)3(2)由余弦定理得푎2=푏2+푐2−2푏푐cos퐴,所以4+푐2−2푐=9,即푐2−2푐−5=0,解得푐=1+√6.32푎푏=(3)由正弦定理=,得sin휋sin퐵,sin퐴sin퐵3√3解得sin퐵=.3因为푏<푎,所以퐵<퐴,√6所以cos퐵=.32√21所以sin2퐵=2sin퐵cos퐵=,cos2퐵=1−2sin2퐵=,332휋所以cos(3퐵+퐶)=cos(2퐵+)32휋2휋=cos2퐵cos−sin2퐵sin33   112√2√31+2√6=×(−)−×=−.32326第3页,共6页{#{QQABIYwAggggQAAAAAhCAwHwCgGQkACACAoOQBAIsAABQQFABAA=}#}21.【答案】解:(1)设等差数列{푎푛}的公差为푑,由푎4=2,푎5=3(푎4−푎3),可得2+푑=3푑,解得푑=1,所以푎푛=2+(푛−4)=푛−2,数列{푏푛}满足푏1=2,푏푛+1=2푏푛,所以数列{푏푛}是以푏1=2为首项,2为公比的等比数列,푛所以푏푛=2,(3푛−4)(푛−4)−,푛为偶数,2푛(2)由(1)可知푐푛={푛,,푛为奇数2푛푛当푛为奇数时,푐=푛,푛2132푛−1设퐴푛=++⋯+,22322푛−11132푛−1퐴푛=++⋯+,482522푛+11(1−1)311112푛−1144푛−12푛−1两式相减可得:퐴푛=+++⋯+−=+−,4241622푛−222푛+121−122푛+14106푛+5整理得:퐴푛=−,918×4푛−1(3푛−4)(푛−4)−3푛2+16푛−16푛2(푛−2)2当푛为偶数时,푐푛=−푛=푛=푛−,2222푛−24422262424푛2(2푛−2)2푛2设퐵푛=−0+−+−+⋯+−=,42422262422푛22푛−24푛−1106푛+5푛2所以数列{푐푛}的前2푛项和为퐴푛+퐵푛=−+.918×4푛−14푛−122.【答案】解:∵푓(푥)−1=푚푒푥−1−ln푥−1=0,ln푥+1∴푚=,푒푥−1ln푥+11−1−ln푥푥设ℎ(푥)=푥−1,则ℎ′(푥)=,푒푒푥−1111设휑(푥)=−1−ln푥,则휑′(푥)=−−<0,푥푥2푥∴휑(푥)单调递减,∵휑(1)=0,第4页,共6页{#{QQABIYwAggggQAAAAAhCAwHwCgGQkACACAoOQBAIsAABQQFABAA=}#}∴当0<푥<1时,휑(푥)>0,ℎ′(푥)>0,ℎ(푥)单调递增,当푥>1时,휑(푥)<0,ℎ′(푥)<0,ℎ(푥)单调递减,∴ℎ(푥)max=ℎ(1)=1∴当푚=1时,方程有一解,当푚>1时,方程无解;푡푒(2)(????)当푚=푒时,푔(푥)=푒푥−푥2−(푥>0),则푔′(푥)=푒푥−푡푥,22푥∴푥1,푥2是方程푒−푡푥=0的两根,푒푥푒푥(푥−1)设푛(푥)=,则푛′(푥)=,푥푥2令푛′(푥)=0,解得푥=1,∴푛(푥)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,푒2∵푛(1)=푒,푛(2)=,2푒2∴当푡∈(푒,)时,0<푥<1,1<푥<2,212∴푥1+푥2<3,푒푥1=푡푥푥=ln푡+ln푥由1得11{푥2{푒=푡푥2푥2=ln푡+ln푥2푥2∴푥2−푥1=ln푥2−ln푥1=ln,푥1푥令푝=2>1,푥1ln푝푝ln푝∴푥=,푥=,1푝−12푝−1ln푝푝ln푝1+푝∴푥+푥=+=ln푝,12푝−1푝−1푝−12(푝−1)∴푥+푥>2等价于ln푝>,12푝+12(푥−1)14(푥−1)2设푞(푥)=ln푥−,푥∈[1,+∞),则푞′(푥)=−=≥0,푥+1푥(푥+1)2푥(푥+1)2∴푞(푥)单调递增,∴푞(푥)≥푞(1)=0,2(푝−1)∴푞(푝)>0,即ln푝>,푝+1∴푥1+푥2>2,综上,2<푥1+푥2<3,푥1푥2(????????)由(????)知,푒=푡푥1,푒=푡푥2,第5页,共6页{#{QQABIYwAggggQAAAAAhCAwHwCgGQkACACAoOQBAIsAABQQFABAA=}#}푡푒∴푔(푥)+2푔(푥)=푒푥1−푥2−+2푒푥2−푡푥2−푒122122푡3=푒푥1−푥2+2푒푥2−푡푥2−푒2122푥13=푒푥1−푒푥1+2푒푥2−푥푒푥2−푒222푥3=푒푥1(1−1)+푒푥2(2−푥)−푒,222由(????)知,1<2−푥1<푥2<2,设푠(푥)=(2−푥)푒푥,푥∈(1,2),则푠′(푥)=(1−푥)푒푥<0,∴푠(푥)单调递减,푥22−푥1∴푠(푥2)<푠(2−푥1),即(2−푥2)푒<푥1푒,푥3∴푔(푥)+2푔(푥)<푒푥1(1−1)+푥푒2−푥1−푒,12212푥3设푀(푥)=(1−)푒푥+푥푒2−푥−푒,푥∈(0,1],2211则푀′(푥)=(1−푥)푒푥+(1−푥)푒2−푥=(1−푥)(푒푥+푒2−푥)≥0,22∴푀(푥)单调递增,又푀(1)=0,∴当푥∈(0,1)时,푀(푥)<0,∴푀(푥1)<0,∴푔(푥1)+2푔(푥2)<0.第6页,共6页{#{QQABIYwAggggQAAAAAhCAwHwCgGQkACACAoOQBAIsAABQQFABAA=}#}

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