2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学2023.11注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定0.5位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．下列条件中，使得“ab”成立的充分不必要条件是11A．abB．C．a2b2D．lnalnbab．已知集合2，，且，则实数的取值范围为2A{xx6x50}B{xxa}ABAaA．(1,)B．[3,)C．[5,)D．(5,)43．已知co（s）=，则sin（）的值为3564334A．B．C．D．55554．已知a，b是两个单位向量，且=60°，若c=2a-b，则cos=1313A．B．C．D．223335．在△ABC中，A，AB边上的高等于AB，则sinC3372137321A．B．C．D．14141414高三数学第1页共6页学科网（北京）股份有限公司6．已知曲线yaexxlnx在点(1,ae)处的切线方程为y2xb，则A．ae1,b1B．ae1,b1C．ae,b1D．ae,b17．满足{xm„x„n}{yyx2,m„x„n}的实数对m，n构成的点(m,n)共有A．1个B．2个C．3个D．无数个118．已知asincos，，clog2log3，则1313b343234A．abcB．acbC．cbaD．cab二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．已知复数z满足z(3i)2i，则A．|z|1B．z的虚部为32C．z310D．z2z10．函数f(x)tan（2x），则4A．f(x)的一个周期为2B．f(x)是增函数3πC．f(x)的图象关于点(,0)对称8πD．将函数ytan2x的图象向右平移个单位长度可得到f(x)的图象411．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AA1的中点，点P在对角线A1B上，则1A．三棱锥PCEF体积为62B．点P到平面CEF的距离为3C．APD1P的最小值为222D．四面体BCEF外接球的表面积为14高三数学第2页共6页学科网（北京）股份有限公司12．对于数列an，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有an≤M，则称数列an为有界数列；若这样的正数M不存在，则称数列an为无界数列．下列说法正确的有qA．等比数列an的公比为，若q1，则an是有界数列n1aB．若数列an的通项n2，则an是有界数列k1kan1≥C．若正项数列an满足：an(n3)，则an是无界数列3an21111（）D．若数列an满足：，且a10,1，则an是有界数列a1a2ana1a2an三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12，5S66S530，则a10▲．14．如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角33形ABC，若AF3，sinACF，则DEF的面积为▲．14（第14题图）（第15题图）15．如图，一个半径为3的半圆，C、D两点为直径AB的三等分点，E、F两点为弧AB上的三等分点，则CFDE=▲.16．已知函数f(x)3x23，若mn,且f(m)f(n)，则m的取值范围为▲，mn的取值范围为▲.（本小题第一空2分，第二空3分）高三数学第3页共6页学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)xxx已知函数f(x)2sincos3cos.442（1）求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合；（2）若f(x)的图象向右平移m(m0)个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m的最小值．▲▲▲18．(本小题满分12分)67357在①∠BAC的平分线长为；②D为BC中点，AD=；③AH为BC边上的高，AH=5219这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，已知b=2，2cosA3acosB.（1）求c;（2）若，求∠BAC的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．▲▲▲高三数学第4页共6页学科网（北京）股份有限公司19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD2BC，DAB900，平面PDB平面ABCD，ACBD，ABPD，BC1，PD2.（1）求证：PD平面ABCD；（2）求二面角DPCB的余弦值．▲▲▲20．(本小题满分12分)已知函数f(x)满足f(x)exx22x．（1）求f(x)的单调区间；（2）若关于x的不等式f(x)(2a)x1在(0,)上恒成立，求实数a的取值范围．▲▲▲高三数学第5页共6页学科网（北京）股份有限公司21．(本小题满分12分)2已知Sn为数列an的前n项和，a11，Sn1Sn2n2n1．（1）求an的通项公式；nn（2）若b11,bn1(1)bnan，求数列bn的前项和Tn．▲▲▲22．(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2+(a2)xlnx．（1）若f(x)在区间(1,2)上有极值，求实数a的取值范围；（2）当0a1时，求证：f(x)有两个零点x1，x2(x1x2)，且f(x1)f(x2)0．▲▲▲高三数学第6页共6页学科网（北京）股份有限公司2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案及评分建议2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．题号12345678答案DCDBDACB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．题号9101112答案ADACBCDABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．20;14．3;15．1;16．(3,3)，(3,3)2四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．（本小题满分10分）xxx解：（1）因为f(x)sin3cos2sin()，……………………………………………2分2223x5当2k,kZ即x4k,kZ时，f(x)取得最小值－2，………………4分23235所以f(x)的最小值为－2，此时x的取值集合为{x|x4k,kZ}．………………5分3（2）设f(x)的图象向右平移m(m0)个单位后得到函数g(x)，则g(x)2sin(xm)，23因为g(x)为偶函数，所以g(x)g(x)，即sin(xm)sin(xm)，223223所以sinxcos(m)0恒成立，所以mk,kZ，………………………8分223232所以m2k,kZ，…………………………………………………………………9分3又因为m0，所以m5．……………………………………………………………10分min318．(本小题满分12分)解：（1）由b=2及2cosA3acosB得bcosA3acosB，即bcosAacosB3，………2分222222由余弦定理得bbcaaacb3，……………………………………………42bc2ac分所以c3．……………………………………………………………………………………5分（2）若选①，记∠BAC=2θ，∠BAC的平分线交BC于D，则有S△ABCS△ABDS△ACD，…………………………………………………………………………………………6分即1bcsin21bADsin1cADsin，…………………………………………………7222高三数学期中参考答案第1页共6页学科网（北京）股份有限公司分即6sin212sin18sin即sin2sin，所以2sincossin，………………9分55因为(0,)，所以sin0从而cos1即，…………………………………11分223所以BAC2.……………………………………………………………………………12分3若选②，由于D为BC中点，所以AD1(ABAC)，…………………………………6分2222即4ADABAC2ABAC，…………………………………………………………7分7又因为AD，AB3，AC2，所以ABAC3，……………………………9分2即ABACcosBAC3，所以cosBAC1，……………………………………11分22又因为BAC(0,)，所以BAC.………………………………………………12分3若选③，由于AH为BC边上的高，2221219在Rt△BAH中，BHABAH9957144，所以BH，……………7分19191919222719在Rt△CAH中，CHACAH495749，所以CH，……………9分19191919所以BCBHCH19，222由余弦定理得cosBACABACBC94191，…………………………11分2ABAC23222又因为BAC(0,)，所以BAC.………………………………………………12分319．(本小题满分12分)解：（1）因为平面PDB平面ABCD，平面PDB平面ABCD=BD，ACBD，AC平面ABCD所以AC⊥平面PDB，…………………………………………………………………………1分又因为PD平面PDB，所以AC⊥PD，…………………………………………………2分又因为ABPD，ACABA，AC平面ABCD，AB平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，………………………………………………………………………4分（2）z由（1）知PD⊥平面ABCD，又AD平面ABCD，AB平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥AB，过A引AZ∥PD，则有AZ⊥AD，AZ⊥AB，又因为DAB900，即ABAD，以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AZ为z轴建立空间直角坐标系，……5分高三数学期中参考答案第2页共6页学科网（北京）股份有限公司设ABt(t0)，则A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,1,0)，D(0,2,0)，P(0,2,2),所以AC(t,1,0)，BD(t,2,0)，DP(0,0,2),由于ACBD，所以ACBD0，所以t22，即t2，………………………………………………………………………7