2024届高三第三次校际联考数学（理科）试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足iz1i，则z的虚部为1A．iB．1C．iD．22.命题“x≤2，x22x80”的否定是A．x≤2，x22x8≤0B．x2，x22x80C．x≤2，x22x80D．x2，x22x803.已知全集UR，集合Mx2x13，Nx1x310，则xx≤2A．B．C．D．MNMNðUMNðUMN4若0a1，则函数ylogax1的图象可以是A．B．C．D．5.已知等差数列an，其前n项和Sn满足S7a412，则a2a675A．4B．C．D．32222226.若圆C1：x1y1与圆C2：x5y330m有且仅有3条公切线，则m学科网（北京）股份有限公司A．14B．28C．9D．11a57.已知等比数列an为递减数列，若a2a66，a3a55，则a7321A．B．C．D．62368.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：lg20.301，lg30.477，lg70.845）A．3B．4C．5D．69.在某校高中篮球联赛中，某班甲，乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是图一图二（第9题图）A．甲得分的极差是18B．乙得分的中位数是16.5C．甲得分更稳定D．甲的单场平均得分比乙低10.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，如果点E为AA1的中点，那么过点D1、B、E的截面图形为（第10题图）A．三角形B．矩形C．正方形D．菱形x2y211.设P是双曲线1（a0，b0）与圆x2y2a2b2在第一象限的交点，F、F分别是a2b212双曲线的左、右焦点，若tanPF2F13，则双曲线的离心率为10A．3B．2C．10D．2学科网（北京）股份有限公司lnalnblnc12.已知实数a，b，c满足0，则a，b，c的大小关系为eabcA．bacB．cbaC．abcD．cab第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知抛物线y24x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则PF.14.在△ABC中，ABAC1，A90，则ABBC.15.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为.纵式：横式：（第15题图）3216.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，3则这两个圆锥的侧面积之和为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinC3ccosB.（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b13，c3a，求△ABC的面积.18.（本小题满分12分）某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400（Ⅰ）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从学科网（北京）股份有限公司这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及数学期望.nadbc2附：K2，其中nabcd.abcdacbd2PK≥k00.0500.0100.001k03.8416.63510.82819.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，ABBC2，AP22，E为PC的中点.（第19题图）（Ⅰ）证明：AD∥平面PBC.（Ⅱ）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）a已知函数fx2lnx.x2（Ⅰ）若fx在1,f1处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）fx是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）x2y2已知抛物线C：y24x与椭圆C：1（ab0）有一个公共的焦点，C的左、右焦点分别12a2b221为F，F，离心率为.122（第21题图）学科网（北京）股份有限公司（l）求椭圆C2的方程；（）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），若PF1Q与PF1R互补，试问直线l是否经过一个定点？若直线l经过一个定点，试求此定点坐标；若不经过，请说明理由.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】2x3t2在平面直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数）.在以原点O为极点，x轴正半2y5t2轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为25sin.（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为3,5，圆C与直线l交于A，B两点，求PAPB的值.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】1己知函数fxxax2，a≥.2（Ⅰ）若a1，求不等式fx≤7的解集；（Ⅱ）若fx≥2a1，求a的取值范围.2024届高三第三次校际联考数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.A3.D4.D5.A6.A7.A8.C9.B10.D11.D12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.6413.514.115.16.62381三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.解：（Ⅰ）∵bsinC3ccosB，学科网（北京）股份有限公司∴由正弦定理可得sinBsinC3sinCcosB，又sinC0，∴sinB3cosB，即tanB3，∵B0,，2∴B.32（Ⅱ）∵b13，c3a，B，32222221∴由余弦定理可得bac2accosB，即13a9a6a，2解得a21，即a1，c3，11333∴SarsinB13.ABC222418.解：24001205015080400（Ⅰ）∵K210.2566.635，20020027013039∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.（Ⅱ）由题意得X的可能值是1，2，3，C1C2332，PX13C510C2C1632，PX23C510C3C0132，PX33C510∴X的分布列为：X123361P1010103619∴EX123.101010519.解：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，∵ABAD，ABBC，∴BC∥AD.又AD平面PBC，BC平面PBC，学科网（北京）股份有限公司∴AD∥平面PBC.（Ⅱ）易知AB，AD，AP两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，P0,0,22.∴PB2,0,22，BC0,2,0，AE1,1,2，设平面PBC的法向量mx,y,z，mPB2x22z0则，取x2，则y0，z2.mBC2y0∴平面PBC的一个法向量为m2,0,2.设直线AE与平面PBC所成角为，mAE46则sincosm,AE.mAE62320.解：a22a（Ⅰ）由fx2lnx，得f'x，x2xx3∵fx在1,f1处的切线与x轴平行，∴f'122a0，解得a1.222a2xa（Ⅱ）函数fx的定义域为0,，f'x.xx3x3当a≤0时，对任意的x0，f'x0，此时函数fx无极值点；当a0时，令f'x0，可得xa，由f'x0，可得0xa；由f'x0，可得xa.此时，函数fx的减区间为0,a，增区间为a,.学科网（北京）股份有限公司∴函数fx在xa处取得极小值.综上，当a≤0时，函数fx无极值点；当a0时，函数fx的极小值点为xa，无极大值点.21.解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线C1的焦点为1,0，∴椭圆C2的半焦距c1，1又∵椭圆C的离心率为，22c1∴e，即a2，a2∵a2b2c2，∴b2a2c23，x2y2∴椭圆C的方程为1.243（Ⅱ）F11,0，设Qx1,y1，Rx2,y2，∵PF1Q与PF1R互补，∴kk0，QF1RF1yy∴120，x11x21化简可得x1y2y2x2y1y10①，设直线PQ的方程xmynm0，xmyn222联立x2y2，消去x得3m4y6mny3n120，14336m2n243m243n2120，可得n23m242②，6mn3n212由韦达定理，可得yy，yy③，123m24123m24学科网（北京）股份有限公司将x1my1n，x2my2n代入①，可得2my1y2n1y1y20④，6mn246mnn1再将③代入④，可得，解得n4，3m243m24∴直线PQ的方程为xmy4，∴直线l经过定点4,0.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：2x3t2（Ⅰ）由直线l的参数为（t为参数），2y5t2得直线l的普通方程为xy