2023~2024学年第一学期四校联考（三）参考答案题号123456789101112答案CBBDDABCACDACBCACD13.114.215.3016.32,32部分试题答案详解7.【答案】B【解答】解：设从最底层开始的第n层的正方体棱长为an，1122，22，，a12a2222a3221222则an为以2为首顶，以为公比的等比数列，221a是以4为首项，以为公比的等比数列．n2141n22222232塔形的表面积S4a4a4a4aa4436，n123n11n12232令3634，解得n4，该塔形中正方体的个数至少为5个．故选：B．2n8.【答案】Cx2【解答】解：易知x10x2x3,x1,x2,x3为函数f(x)ax的零点，x12ax122x22x1x32x244ax2,ax1x3,ax2,x2x1x3,x32ax322又2x3x3x2x1x30,x1x32x2,x22x2x3x30,210x2x2x解之：321，负根舍去；x2又f(x)axx20,axx2,xlnalnx2，2即yxlna与ylnx有三个交点，交点横坐标分别为x1,x2,x3，如下图先计算过原'22点的切线方程，不妨设切点为t,2lnt,y'2lnx,k,xt试卷第1页，共7页{#{QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=}#}2切线方程为：y2lntxt过原点，tet22此时k,yxlna的斜率比切线斜率小，te结合图像容易分析出，24lna,2lna221.故选：Cee12.【答案】ACD22【解答】解：对于A，fxlnxax2x1lnxa(x1)f(1)ln1a(11)20，x1是f(x)的一个零点，故A正确12ax22ax1对于B，f(x)a(2x2)f(x)存在两个极值点xxx1,x2(x1x2)，22ax2ax10有两个不相等的实数根，即f(x)有两个变号零点x10,x200，即(2a)242a14a28a4a(a2)0，a2或a0xx1012又x10,x20，1，解得a0,综上，a2，故B错误x1x202a1对于C，由B选项可得，x+x1，x1x，1xx，0x12211112故C正确22对于D，f(x1)f(x2)lnx1a(x12x11)lnx2a(x22x21)1lnxxa[x2x22(xx)2],将xx1,xx代入上式12121212122a111f(x)f(x)lna(122212)ln2aa(1)122a2aaln2lnaa1alnaln211a1令h(a)alnaln21(a2)h(a)10aa有h(a)在(2,)上单调递增，h(a)h(2)2ln2ln2112ln2，故D正确故选：ACD2【答案】解：由，得2，设16.32,32c2bc20(cb)2试卷第2页，共7页{#{QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=}#}OAa,OBb，OCc，所以点C的轨迹是以点B为圆心，2为半径的圆．caBA2,BA2，a,b，3所以AB4122cos3，3于是．故填．ca32,3232,32解：（）由题意得：，………………………分17.124a31a12S41a(116)即8a222a21，………………………3分1112整理得，解得，………………………分32a12a130a1a124所以数列的通项公式为n………………………分anan2.5（）由（）知：n………………………分21bnanlog2an2n.6所以123n1nTn2122232(n1)2n2122232n12n(12n)………………………8分n212n(n1)n(n1)2n12.………………………10分122218.解：（1）由f(x)sin(x)sin(x)得：623133f(x)sinxcosxcosxsinxcosx，…………2分2222133(sinxcosx)3(sinx)，…………4分223由f()0知(sin)0，则k，kZ，66363故6k2，kZ，……………………6分又03，所以2.……………………7分（2）由（1）知f(x)3sin(2x)，……………………8分3由题意得g(x)3sin(x)3sin(x)，……………………10分4312.试卷第3页，共7页{#{QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=}#}3719由2kx2k,kZ解得2kx2k,kZ，21221212719所以g(x)的单调递减区间为[2k,2k](kZ).…………12分121219.（1）证明：因为PA平面ABCD,所以PABD；…1分因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，……………2分因为PAACA,PA,AC平面PAC,所以BD平面PAC.……………………3分（2）证明：因为底面ABCD是菱形且ABC60，所以ACD为正三角形，所以AECD,因为AB//CD,所以AEAB；……………………4分因为PA平面ABCD，AE平面ABCD,所以AEPA；……………………5分因为PAABA，所以AE平面PAB，……………………6分AE平面PAE,所以平面PAB平面PAE.……………………7分（3）存在点F为PB中点时，满足CF//平面PAE．……………………8分理由如下:分别取PB,PA的中点F,G，连接CF,FG,EG,1在三角形PAB中，FG//AB且FGAB；……………9分21在菱形ABCD中，E为CD中点，所以CE//AB且CEAB，2所以CE//FG且CEFG，即四边形CEGF为平行四边形，所以CF//EG;又CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF//平面PAE.……………12分20．解：（1）根据题意知f(x)40，……………1分当0x30时，f(x)3040，不满足题意；……………2分1800当30x100时，由2x9040化简得x265x9000，x即(x20)(x45)0，解得x45或x20（舍去），∴45x100，………4分综上知当45x100时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间，…5分（2）由题意得g(x)x%f(x)(1x%)40，……………6分1当0x30时，g(x)x%30(1x%)4040x，10由一次函数图像性质可知g(x)在0x30时单调递减；……………7分试卷第4页，共7页{#{QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=}#}1800113当30x100时，g(x)x%(2x90)(1x%)40x2x58，x5010由二次函数图像性质可知当x(30,32.5)时，g(x)单调递减，当x[32.5,100)时，g(x)单调递增；……………………9分140x,0x3010综上，g(x)，113x2x58,30x1005010在(0,32.5)上单调递减，在[32.5,100)上单调递增，……………………10分说明当自驾群体范围小于32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少；当自驾群体占比为32.5%时，人均通勤时间最少；当自驾群体范围超过32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加.………12分21.解:（1）连接AC,OB，设OBm,BOC，m33在OAB中，由正弦定理可知：ππ，sinsin()cos32m9在△OBC中，由正弦定理可知：，………2分πsinsin393于是有，即sin3cos，sincos2210而sincos1，解得cos（负值舍去），………4分1033m32330330因此m，即OB；………………6分πsincos1022310（2）由题意知ABBC6，所以BCABAC，而OAOC，BAOBCO，π因此OCAOAC，所以OAOC，而ABBC，所以OB垂直且平分AC，4ππ3π因此BOC，ABOCBOπ，………………8分444OBBC在△OBC中，由正弦定理，得OB62sin．则sinsinBOC13πS2OBBAsin362sinsin244试卷第5页，共7页{#{QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=}#}222362sincossin36sincos36sin22π18sin2181cos2182sin218，0．………………10分42ππ3π3π当2，即时，S取到最大值，最大值为18218．因此，当4288时，养殖场OABC最大的面积为18218平方米.………………12分x2(a2)xa1(x1)(xa1)22.解：（1）由f(x)，………………1分exex①当a11，即a0时，(x1)2因为f(x)0恒成立，故f(x)在(，)上为减函数；………2分ex②当a11，即a0时，由fx0得，x1或xa1；由f(x)0得，1xa1，所以f(x)在(，1)和(a1，)上为减函数，在(1，a1)上为增函数；………3分③当a11，即a<0时，由f(x)0得，xa1或x1；由f(x)0得，a1x1，所以f(x)在(，a1)和(1，)上为减函数，在(a1，1)上为增函数.………4分综上：当a0时，f(x)在(，)上为减函数；当a0时，f(x)在(，1)和(a1，)上为减函数，在(1，a1)上为增函数；当a<0时，f(x)在(，a1)和(1，)上为减函数，在(a1，1)上为增函数.………5分a2（2）因为x0时，关于x的不等式fx恒成立，ea2a2则f0，即1，解得ae或ae.……………………6分ee①当ae时,由（1）知fx在0,1上为增函数，在1,上为减函数，a2所以fx在0,上的最大值为f1，故f1，e2aa2即，解得a2或a1，因为ae，所以a2.……………………8分ee②当ae时，由（1）知fx在0,1和a1,上为减函数，在1,a1上为增函a2数，所以fx在0,上的最