2025届高二年级上学期第一次月考数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ACACDADC【解析】1．由题意，Mxx{20}{|2}∣≥≥xx，Nxx{10}{|1}∣xx，根据交集的运算可知，MN{|2x≤x1}，故选A．5(1i3)5(1i)2．1i，故选C．(2i)(2i)53．∵AB(12，，3)，BC(1，，15)，∴ACABBC(0，，12)，则||AC01(2)5222，故选A．4．数据从小到大为3，4.3，6.2，6.5，7.6，7.8，8.1，9.6，10，11，12.3，15.9，因为120.759，1011所以它们的75%分位数是10.5，故选C．233315．因为角的终边上有一点P(1，3)，所以sin10，cos132210101322113π3210，所以cos2cos(π)sin2cos101010102101010，故选D．216．∵ABa，ACb，AAc，D为BC的中点，∴CDCCCDAACBAA1111112111111()ABACAAABACabc，故选A．2222217．由已知，以点D为原点建立如图1所示直角坐标系，AB2，AA14，点E，F分别是B11C和BB1的中点，可得A(200)，，，D1(0，，04)，F(222)，，，C(0，，20)，E(1，2，4)，由于M是线段D1F的中点，则M(1，，13)，则AM(113)，，，CE(1，，04)，设直线AM和CE图1AMCE11187所成角为，则cos，故选D．||||AMCE111717数学ML参考答案·第1页（共7页）{#{QQABaQSEggCAQBBAAQgCUwWgCgCQkAACCKoOBBAEMAAAgBNABAA=}#}8．∵A(111)，，，P(2，，21)，∴AP(1，，12)，又m(1，，10)，∴AP在m方向上的投APm2影为||cosAPAPm2，点P(2，到直线21)l的距离为||m2dAP||(2)62222，故选C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ABABDBDACD【解析】9．根据题意，空间中三点A(2，，11)，B(1，，02)，C(0，，31)，则AB(1，，13)，AC(2，，20)，BC(13，，3)，对于A，AB(1，，13)，则||11911AB，A正确；对于B，ABAC2200，则ABAC，B正确；对于C，BABC13911cosABCcosBA，BC，C错误；对于D，由B的结论||||BABC111919ABAC，则A，B，C三点不共线，D错误，故选AB．10．画出函数图象如图2．对于A项，f(0)2，ff((0))f(2)3；对于B项，由图象易知，x值域为[2，；)对于C项，由图象易知，[0，)区间内函数不单调；对于D项，由a21的斜率为k，则增长速度小于||2x，即||a≤2时，左支无22交点成立，右支最低点为x2，代入应使a≤22，2532可得2≤a≤，综上，||a≤，即2a[2，，故选2]22图2ABD．11．对于A，在△中，ABC||3BC，||4AC，C30，则BCCACBCA34363，故A错误；对于B，已知a(4，，5)b(2，，则4)2(66)ab，，2则|2ab|62，故B正确；对于C，已知a(1，，1)bd(1)，，a与b的夹角为钝角，则abd10，即d1，设ab∥，则11d，即d1，即当a与b的夹角为钝角数学ML参考答案·第2页（共7页）{#{QQABaQSEggCAQBBAAQgCUwWgCgCQkAACCKoOBBAEMAAAgBNABAA=}#}时，d的取值范围是(1)(11)，，，故C错误；对于D，若ABab，BC28ab，CD3(ab)，则BDBCCDa55b，则BDAB5，即ABBD∥，则A，B，D三点共线，故D正确，故选BD．12．在正方体ABCDA111BCD1中，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图3，设正方体的棱长为1，则D(0，，00)，A(1，，00)，B(1，，10)，C(0，，10)，D1(0，，01)，A1(1，，01)，B1(1，，11)，C1(0，，11)，图3对于A，BDB11D(1，，，10)BD∥，B11D又∵BD平面ABD11，∵BD11平面ABD11，∴BD∥平面ABD11，故A正确；对B，AC1(11，，1)，AD1(101)，，，AB1(0，，11)，由AC1111ADACAB0得A1C为平面ABD11的法向量，又AC(110)，，，设AC与平||AC1AC26面ABD11所成的角为，所以sin，故B错误；对于C，||||AC1AC323因为AC1(111)，，，CB1(1，，01)，CD1(0，，，11)AC11CBAC1CD10，所以AC1为平面CB11D的法向量，故AC1平面CB11D，故C正确；对于D，BD(1，，，10)BDCB111CB1(1，，01)，∴异面直线BD与CB1所成的角的余弦值为，||||BDCB1222故直线BD与CB1所成的角为60，故D正确，故选ACD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号1314151631答案0.672872【解析】21313．由两点斜率公式可得k．AB43714．该电路正常工作的概率为：P0.8[1(10.6)(10.6)]0.672．212mnmn4215．因为若m，n0，且24mn2mn22，所以mn21，则mnmn44nmnm4nm114428≥，当且仅当且mn21，即n，m时取等号．mnmnmn42数学ML参考答案·第3页（共7页）{#{QQABaQSEggCAQBBAAQgCUwWgCgCQkAACCKoOBBAEMAAAgBNABAA=}#}11116．AEABACCEABACCDABAC()()ADACABADAB3332121ACAB11cos6011cos60．3332四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由sin2CC3sin，得2sinCCcos3sinC，………………………（2分）3∵sinC0，∴cosC，2π∵C(0，，π)∴C．……………………………………………………（4分）6111（Ⅱ）∵SabCasin423，△ABC222∴a23，………………………………………………（6分）3由余弦定理得cab2222abCcos121622344，2∴c2，…………………………………………………………………………（8分）∴abc2342623，∴△ABC的周长为623．…………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵已知a(1，，42)，b(224)，，，1∴cb(112)，，，……………………………………………………………（3分）2ac14(4)14则cosac，．……………………………（6分）||||ac11641144222（Ⅱ）()(3)(13)3kababkakabb21kk(13)(288)3240，……………………………………（10分）74解得k．…………………………………………………………………………（12分）2719．（本小题满分12分）82解：（Ⅰ）样本容量n50，所以第4组的频数为500.084，b0.04，0.1650所以a50(82042)16，数学ML参考答案·第4页（共7页）{#{QQABaQSEggCAQBBAAQgCUwWgCgCQkAACCKoOBBAEMAAAgBNABAA=}#}16所以第2组的频率为0.32，所以(7060)x0.32，x0.032，50(10090)y0.04，y0.004．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，第4组共有4人，记为A，，，BCD，第5组共有2人，记为XY，．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有ABACADAXAYBCBDBXBY，，，，，，，，，CD，，，，，CXCYDXDYXY，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，有AXAYBXBYCXCYDXDYXY，，，，，，，，，共9种情况．93所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是PE()．155……………………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题知AA11CC3，AD1，AD110，222∴ADAAAD11，∴AAAD1，………………………………………………（1分）∵CC11∥AA，CC1BC，∴AABC1，…………………………………………（2分）又∵ADBCB，∴AA1平面ABC，又CD平面ABC，∴CDAA1，…………………………………………………（3分）在正三角形ABC中，D为AB的中点，则CDAB，…………………………（4分）又ABAAA1，∴CD平面ABB11A.…………………………………………（5分）（Ⅱ）解：如图4，取BC的中点为O，B11C的中点为Q，由（Ⅰ）可知，三棱柱的侧面与底面垂直，从而OA，OB，OQ两两垂直.………………………………………（6分）以O为坐标原点，OB，OQ，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，图41333则C(10，，0)，D，，0，A(0，，33)，