决胜新高考——2024届高三年级大联考数学参考答案与评分细则本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足z13i2i，则z（）10101010A．B．C．D．251015【答案】B2i210【简析】z==．1+3i105，，，，，2．设全集U12345，若AB2，UAB4，UUAB15，则A．3A，且3BB．3A，且3BC．3A，且3BD．3A，且3B【答案】B，，，，【简析】UA=145，A=23，B24．3．已知不共线的两个非零向量a，b，则“a+b与ab所成角为锐角”是“|a||b|”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件{#{QQABCQQUogAoAAAAAAhCAw2QCEGQkBECAKoOhAAEsAAAgBFABAA=}#}【答案】C【简析】由题意，a+b与ab所成角为锐角等价于a+bab0，即a2b2．4．若x，y满足x0，，y0xy3xy，则x3y的最小值为A．1026B．1023C．12D．16【答案】D13yx【简析】x3yx3y103≥16．xyxy5．函数y2sinxx2，2的图象大致为x21yyA．B．xxyyC．D．xx【答案】A【简析】该函数为奇函数，当x0，2时，y2sinx2x≤1．x21x21ππ6．已知函数f(x)sin(x)(0)在(，π)上单调递减，则的取值范围是6244515A．0，B．[]，C．(0，]D．[，1]33323【答案】B2π5πππ3π2kπ+2kπ+【简析】令2kπ+≤x≤2kπ+，得33，262≤x≤2kπ+2π3≤π24545由，解得4k≤≤2kπ+，所以≤≤．33332kπ+5ππ≤3ππ7．已知sinsin=1，则cos=331322A．B．C．D．2332{#{QQABCQQUogAoAAAAAAhCAw2QCEGQkBECAKoOhAAEsAAAgBFABAA=}#}【答案】Bπ33π3π【简析】由sinsin=1，得sincos=1，sin=，所以cos=322633π3sin=．6328．已知a3ln3，b2ln3，c3ln3，则A．acbB．cabC．abcD．bca【答案】A2【简析】因为1＜ln3＜2，所以bcln33ln32ln31ln32＜0，即b＜c，22因为lnaln3，lncln3lnln3，lnalncln3ln3lnln3，21x12x1设fxxxlnxx＞1，则fx2x1＞0，xx所以fx单调递增，所以fln3＞f10，所以lna＞lnc，即a＞c，综上a＞c＞b．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知ab，则ab22331111A．lna1lnb1B．abC．D．ab22【答案】BD【简析】A，C举反例排除；B，D考查函数单调性．10．已知函数f(x)x2sinx，则A．f()x的图象关于点π，0对称ππB．f()x在区间，上单调递减334πC．f()x在0，2π上的极大值点为3D．直线yx2是曲线yf()x的切线{#{QQABCQQUogAoAAAAAAhCAw2QCEGQkBECAKoOhAAEsAAAgBFABAA=}#}【答案】BDππ【简析】f(πx)f(x)0，A错误；f(x)12cosx，当x，时，f(x)0，335πf()x单调递减，B正确；当x时，f()x在0，2π上取得极大值；3令f(x)12cosx1，取xπ，得yf()x的切线方程为yx2，D正确．211．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻t（单位：s）时过山车（看作质点）离地平面的高度h（单位：m）为h(t)Asin(t)B，（A0，0，π）．已知当t=4时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面50m，当t102时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面10m．则A．A30πB．6C．过山车启动时距地面20米D．一个周期内过山车距离地平面高于40m的时间是4s【答案】BCDAB50A20T2ππ【简析】，解得，A正确；6，T12，，B正确；AB10B302126ππh(t)20sint30，所以h(0)40，C错误；令h(t)40，得66ππ1sint，12k2t12k6，kZ，D正确．66212．定义在R上的函数f()x满足f(x2)f(x2)0，f(1x)为偶函数，则A．f(1x)f(1x)0B．f(1x)f(1x)C．f(x4)f(x)D．f(2023)0【答案】BC【简析】由f(x2)f(x2)0，得f()x为奇函数，由f(1x)为偶函数，得f()x的对称轴为x1，所以f()x是周期函数，且周期为4（不一定是最小正周期），故AD错误，BC正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．2log2x，x≥1113．已知函数f()xx，则ff.4，x12{#{QQABCQQUogAoAAAAAAhCAw2QCEGQkBECAKoOhAAEsAAAgBFABAA=}#}1【答案】fff(2)12【简析】代入计算．sin214．已知向量acos，2，b1，sin，且ab，则.2cos234【答案】23sin22tan4【简析】由ab，得tan1，所以．22cos2353tan22315．在锐角三角形ABC，AB2，且114，则AB边上的中线长为.tanABCtantan【答案】222211422322(ab)c【简析】由，得abc，CD22，CD2.tanABCtantan2416．如图，将矩形纸片ABCD的右下角折起，使得点B落在DB1CCD边上点B1处，得到折痕MN．已知AB5cm，NBC4cm，则当tanBMN时，折痕MN最短，其长度的最小值为cm．AMB（本题第一空2分，第二空3分）（第16题）【答案】2，332【简析】设BMN，MN的长度为l，则lsinlsincos24，44l32，构造函数即可．sinsincos2sin1sinf()xxx四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a3，sinA，3πBA．2（1）求cosC的值；（2）求△ABC的周长．{#{QQABCQQUogAoAAAAAAhCAw2QCEGQkBECAKoOhAAEsAAAgBFABAA=}#}ππ【解析】（1）在△ABC中，因为BA，所以0A，226所以cosAA1sin2．……2分3ππ又因为BA，所以CAAAπ2，222π22所以cosCAAAAcos2sin22sincos．……5分23ππ6（2）由BA得，sinBAAsin()cos，223π1sinCAAAsin2cos212sin2．……7分233bc又正弦定理，得，361333解得b32，c3，所以△ABC的周长为3323．……10分18．（12分）已知函数f()x2sinxcosx23cos2x3(0)的最小正周期为π．（1）求的值；π（2）将函数f()x的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函6数yg()x的图象．若g()x在区间[0，m]上有且仅有5个零点，求m的取值范围.【解析】（1）f()x2sinxcosx23cos2x3sin2x3cos2xπ2sin2x，……3分3因为函数fx的最小正周期为π，2π所以π，1．……5分2ππ（2）将函数f(x)2sin2x的图像向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长36{#{QQABCQQUogAoAAAAAAhCAw2QCEGQkBECAKoOhAAEsAAAgBFABAA=}#}2π2π度，得到y2sin2x2的图像，所以g(x)2sin2x2．……8分335π令g(x)0，得xkπ+(kZ)，……10分12因为g()x0，m上有且仅有5个零点，53π65π所以≤m．……12分121219．（12分）11已知函数f(x)x3(a1)x2ax．321（1）若f()x在x处取得极值，求f()x的单调递减区间；3（2）若f()x在区间(0，2)上存在极小值且不存在极大值，求实数a的取值范围．【解析】f'xx2a1xa．……1分1（1）因为fx在x处取得极值，31所以f'0，3112即a1a0，解得a，……3分9332521所以f'xxxxx2．3331令f'x0，故x2，31所以函数fx的单调递减区间为，2．……6分3（2）因为fx在0，2上存在极小值且不存在极大值，当f'(0)0时，a0，f'xx2x，符合题意．……8分f(0)0当f'(0)0时，，f(2)02解得a0．……11分32综上，实数a的取值范围是，0．……12分320．（12分）{#{QQABCQQUogAoAAAAAAhCAw2QCEGQkBECAKoOhAAEsAAAgBFABAA=}#}已知函数f(x)x2xsinxcosx．（1）若曲线yf()x在点x0，f()x0处的切线与x轴平行，求该切线方程；（2）讨论曲线yfx与直线ya的交点个数．【解析】（1）f(x)x(2cosx)，因为曲线yf()x在点x0，f()x0处的切线与x轴平行，所以f(x0)x0(2cosx0)0，……2分因为2cosx00，所以x00，f(x0)1．所以所求切线方程为y1．……4分（2）函数f()x为偶函数，……5分当x0，时，f(x)x(2cosx)≥0，f()x单调递增，所以x，0时，f()x单调递减．所以f(x)minf(0)1．……7分当a1时，曲线yf()x与直线y