学年普通高中高三第一次教学质量检测２０２３－２０２４数学参考答案一、选择题１．Ｂ ２．Ｂ ３．Ａ ４．Ｃ ５．Ｃ ６．Ｃ ７．Ａ ８．Ａ二、选择题９．ＢＣＤ １０．ＡＢＤ １１．ＡＣＤ １２．ＢＣＤ三、填空题２５或１３．［２，＋∞） １４． １５．－１０ １６．９９四、解答题ｎ解设ａ的公比为ｑ由题设得ａｑ－１．分１７．：（１）｛ｎ｝，ｎ＝……………………………１由已知得ｑ４ｑ２解得ｑ舍去或ｑ或ｑ．分＝ｎ４，ｎ＝０（）＝－２＝２………………………４故ａ－１或ａ－１．分ｎ＝－ｎ＝（２）２…………ｎ…………………………………………５ｎ若ａ－１则Ｓ１－（－２）．（２）ｎ＝（－２），ｎ＝３由Ｓ得ｍ此方程没有正整数解．分ｍ＝－＝－６３（２）１ｎ８８，…………………………７ｎｎｍ若ａ－１则Ｓ１－２．由Ｓ得解得ｍ．ｎ＝２，ｎ＝＝２－１ｍ＝６３２＝６４，＝６１－２综上ｍ．分，＝６……………………………………………………………………１０ｘ．解由１－＞０，解得ｘ．所以函数ｆｘ的定义域为．分１８：（１）{ｘ－１＜＜１（）（－１，１）……２１＋＞０，因为ｆ１所以１ａ３（）＝１－ｌｏｇ３４，ｌｏｇ３＋ｌｏｇ３＝１－ｌｏｇ３４．２２２æö所以ａ３１ç１÷３又３ｌｏｇ３＝１－ｌｏｇ３４－ｌｏｇ３＝１－ｌｏｇ３è４×ø＝ｌｏｇ３．ｌｏｇ３≠０，２２２２２故化简得所求ａ．分＝１……………………………………………………………６由可知ｆｘｘｘｘ２其中ｘ．（２）（１）（）＝ｌｏｇ３（１－）＋ｌｏｇ３（１＋）＝ｌｏｇ３（１－），∈（－１，１）所以由题设得关于ｘ的方程ｘ２ｘｔ在内有两个不同的实数解．＋－１－＝０（－１，１）分（∗）…………………………………………………………………………………８设函数ｇｘｘ２ｘｔ因为该函数图像的对称轴方程为ｘ１（）＝＋－１－，＝－２ìｇｔï（－１）＝－１－＞０，ïæö所以结合知只需íｇç１÷５ｔ解得５ｔ．分（∗）ïè－ø＝－－＜０，－＜＜－１…………………１１ï２４４îｇｔ（１）＝１－＞０，高三数学答案第页共页 １（４）{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}æö故所求实数ｔ的取值范围是ç５÷．分è－，－１ø………………………………………１２ｘ４ｘ．解若ａ则ｆｘ－．１９：（１）＝３，ｘ（）＝ｘ３＋３·３ｘｘｘｘ所以ｆｘ即－即２．所以．（）≥４，３＋３·３≥４，（３）－４·３＋３≥０（３－１）（３－３）≥０分……………………………………………………………………………………２所以ｘ或ｘ解得ｘ或ｘ３≤１３≥３，≤０≥１，即不等式ｆｘ的解集为．分（）≥４（－∞，０］∪［１，＋∞）……………………………５ａ若ｆ１０即１０解得ａ．（２）（１）＝，３＋＝，＝１ｘ３ｘ３ｘ３ｘｘｘｘｘ所以ｇｘ－ｍ－ｍ－２ｍ－ｍ．（ｘ）＝ｘ９＋９＋（３＋３）＋２－１＝（３＋３）＋（３＋３）＋２－３令ｔ－ｔ所以ｙｇｘｔ２ｍｔｍ．分＝３＋３，∈［２，＋∞），＝（）＝＋＋２－３……………………７ｍ当即ｍ时ｙｔ２ｍｔｍ在上单调递增－≤２，≥－４，＝＋＋２－３［２，＋∞），２所以ｙ２ｍｍｍ即ｇｘｍ．分ｍｉｎ＝２＋２＋２－３＝４＋１，（）ｍｉｎ＝４＋１…………………………９ｍæｍöæｍö当即ｍ时ｙｔ２ｍｔｍ在ç÷上单调递减在ç÷上单－＞２，＜－４，＝＋＋２－３è２，－ø，è－，＋∞ø２２２调递增，æｍö２æｍöｍ２ｍ２所以ｙç÷ｍç÷ｍｍ即ｇｘｍ．ｍｉｎ＝è－ø＋·è－ø＋２－３＝－＋２－３，（）ｍｉｎ＝－＋２－３……２２４４分…………………………………………………………………………………１１ìｍ２ïｍｍ综上ｇｘí－＋２－３，＜－４，分．，（）ｍｉｎ＝ï４…………………………………………１２îｍｍ．４＋１，≥－４æö．解由题意当ｘ时Ｐｘｘç１ｘ３ｘ÷１ｘ３ｘ２０：（１），０＜＜４，（）＝６－２－è＋２ø＝－＋４－２；３３æö当ｘ时Ｐｘｘçｘ１００÷ｘ１００≥４，（）＝６－２－è７＋ｘ－２７ø＝２５－－ｘ，ïì１ｘ３ｘｘï－＋４－２，０＜＜４，所以年利润Ｐｘ关于ｘ的函数关系式为Ｐｘí３．分（）（）＝ï…５ïｘ１００ｘ．î２５－－ｘ，≥４ïì１ｘ３ｘｘï－＋４－２，０＜＜４，由知Ｐｘí３（２）（１）（）＝ïïｘ１００ｘ．î２５－－ｘ，≥４当ｘ时Ｐｘ１ｘ３ｘ可得Ｐ′ｘｘ２０＜＜４，（）＝－＋４－２，（）＝－＋４，３令Ｐ′ｘ解得ｘ（）＝０，＝２，高三数学答案第页共页２（４）{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}当ｘ时Ｐ′ｘ当ｘ时Ｐ′ｘ分∈（０，２），（）＞０；∈（２，４），（）＜０，………………………７所以Ｐｘ在上单调递增在上单调递减．所以ＰｘＰ（）（０，２），（２，４）［（）］ｍａｘ＝（２）＝１０．分……………………………………………………………………………………８３æö当ｘ时Ｐｘçｘ１００÷ｘ１００≥４，（）＝２５－è＋ｘø≤２５－２·ｘ＝５，当且仅当ｘ１００即ｘ时取等号．分＝ｘ，＝１０………………………………………１０所以当年产量为万件时所获利润最大最大利润为万元．分１０，，５…………１２ａｎａｎ＋１．解ｎａｎｎａｎｎｎ两边同时除以ｎｎ．２１：（１）∵＋１－（＋１）＝２（＋１），（＋１），∴ｎ－ｎ＝２＋１分……………………………………………………………………………………３ａｎａ数列是首项为１公差为的等差数列∴{ｎ}＝２，２，１ａｎ则ｎｎａｎ２．分ｎ＝２＋（－１）２＝２，∴ｎ＝２……………………………………………６ｎｎｎéù２êú由ｂｎ２＋１ａｎｎ可得ｂｎ２＋１２＋１１ê１１ú（２）＝ａｎａｎ，＝２＝ｎ２ｎ２＝ｎ２ｎ２＝ëｎ２－ｎ２û，＋１２２（＋１）４（＋１）４（＋１）分……………………………………………………………………………………７éæöæöæöùéùｎ２ｎê２úêú则Ｔｎ１êç１÷ç１１÷ç１１÷ú１ê１ú１＋２．＝ëè１－２ø＋è２－２ø＋…＋èｎ２－ｎ２øû＝ë１－ｎ２û＝×ｎ２４２２３（＋１）４（＋１）４（＋１）分……………………………………………………………………………………９λｎｎ２ｎｎｎ∗Ｔｎ即１＋２λ即１＋２λｎＮ恒成立．分＜ｎ，×ｎ２＜ｎ，×ｎ＜（∈）……………１０＋１４（＋１）＋１４＋１éùæöλ１ê１ú１ç１÷３．＞ëê１＋ｎûú＝è１＋ø＝４＋１ｍａｘ４２８λ３．故实数λ的取值范围为３．分∴＞（，＋∞）…………………………………１２８８．解函数ｆｘ的定义域为２２：（１）（）（－２，＋∞），ａｘ２ａ则ｆ′ｘｘ＋（－４）．分（）＝ｘ＋－２＝ｘ………………………………………………１＋２＋２当ａ即ａ时ｆ′ｘ函数ｆｘ在上单调递增①－４≥０，≥４，（）≥０，（）（－２，＋∞）；当ａ即ａ时令ｆ′ｘ得ｘａｘａ②－４＜－４＜００＜＜４，（）＝０，１＝－４－＞－２，２＝４－，则当ｘａ或ｘａ时ｆ′ｘ∈（－２，－４－）∈（４－，＋∞），（）＞０；当ｘａａ时ｆ′ｘ∈（－４－，４－），（）＜０，故ｆｘ在ａａ上单调递增在ａａ上单调递（）（－２，－４－），（４－，＋∞），（－４－，４－）高三数学答案第页共页３（４）{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}减．当ａ时ｘａ舍去ｘａ．③＜０，１＝－４－≤－２（），２＝４－则当ｘａ时ｆ′ｘ∈（４－，＋∞），（）＞０；当ｘａ时ｆ′ｘ∈（－２，４－），（）＜０，所以ｆｘ在ａ上单调递减在ａ上单调递增分（）（－２，４－），（４－，＋∞）；………４综上所述当ａ时ｆｘ在上单调递增，≥４，（）（－２，＋∞）；当ａ时ｆｘ在ａａ上单调递增在ａ０＜＜４，（）（－２，－４－），（４－，＋∞），（－４－，ａ上单调递减４－）；当ａ时ｆｘ在ａ上单调递减在ａ上单调递增．分＜０，（）（－２，４－），（４－，＋∞）…６证明因为ｆｘ有两个极值点ｘｘ由知ａｘａｘａ（２）：（）１，２，（１）０＜＜４，１＝－４－，２＝４－，所以ｘｘｘｘａ且ｘａｘｘ．分１＋２＝０，１２＝－４，２∈（０，２），＝１２＋４…………………………７因为ｘｘ所以ｘｘ所以ｆｘｆｘａｘｘｘ２．１＋２＝０，２＝－１，（－１）＝（２），＝１２＋４＝４－２要证ｆｘｆｘｘｆｘｘｆｘｘ．分（－１）＋（２）＞２１⇔２（２）－２１＞０⇔（２）＋２＞０……………………９ｘ２ｘ２ａｘ２ｘｘ２ｘ２ｘ⇔ｌｎ（２＋２）＋－２＞０⇔（４－２）ｌｎ（２＋２）＋－２＞０，２２ｘｘｘｘ２令ｇｘｘｘｘ分⇔（２＋２）ｌｎ（２＋２）－＞０，（）＝（２＋）ｌｎ（＋２）－（０＜＜２），………１０２２则ｇ′ｘｘ１１所以ｇｘ在上单调递增（）＝ｌｎ（＋２）＋＞ｌｎ２＋＞０，（）（０，２），２２又ｇ（０）＝２ｌｎ２＞０，故ｇｘｇ即ｆｘｆｘｘ．分（）＞（０），（－１）＋（２）＞２１………………………………………１２高三数学答案第页共页４（４）{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}#}